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Theorem iunrelexpuztr 38011
Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 13800. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunrelexp.def |- C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) )
Assertion
Ref Expression
iunrelexpuztr |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) )
Distinct variable groups:   n, r, C, N   n, M   R, n, r   n, V
Allowed substitution hints:   M( r)   V( r)
Proof of Theorem iunrelexpuztr
Dummy variables x y z i j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 6680 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( j + i ) e. _V )
2 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> j e. N )
3 simpll2 1101 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> N = ( ZZ>= ` M ) )
42, 3eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
5 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> M e. NN0 )
6 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. N )
76, 3eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
8 eluznn0 11757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. NN0 )
95, 7, 8syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. NN0 )
10 uzaddcl 11744 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ i e. NN0 ) -> ( j + i ) e. ( ZZ>= ` M ) )
114, 9, 10syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> ( j + i ) e. ( ZZ>= ` M ) )
12 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> n = ( j + i ) )
1311, 12, 33eltr4d 2716 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> n e. N )
14 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
15 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
16 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
17 brcogw 5290 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ y e. _V ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z )
1817ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z ) )
1914, 15, 16, 18mp3an 1424 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z )
20 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> M e. NN0 )
21 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
22 simpll2 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N = ( ZZ>= ` M ) )
2321, 22eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
24 eluznn0 11757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. NN0 )
2520, 23, 24syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. NN0 )
26 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
2726, 22eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
2820, 27, 8syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. NN0 )
29 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. V )
30 relexpaddss 38010 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ i e. NN0 /\ R e. V ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r ( j + i ) ) )
3125, 28, 29, 30syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r ( j + i ) ) )
32 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> n = ( j + i ) )
3332oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( j + i ) ) )
3431, 33sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r n ) )
3534ssbrd 4696 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z -> x ( R ^r n ) z ) )
3619, 35syl5 34 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( R ^r n ) z ) )
3736impr 649 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> x ( R ^r n ) z )
3813, 37jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) )
3938ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) -> ( ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) )
401, 39spcimedv 3292 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) )
4140exlimdvv 1862 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) )
42 reeanv 3107 . . . . . . 7 |- ( E. i e. N E. j e. N ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) <-> ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) )
43 r2ex 3061 . . . . . . 7 |- ( E. i e. N E. j e. N ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) <-> E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) )
4442, 43bitr3i 266 . . . . . 6 |- ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) <-> E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) )
45 df-rex 2918 . . . . . 6 |- ( E. n e. N x ( R ^r n ) z <-> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) )
4641, 44, 453imtr4g 285 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) )
4746alrimiv 1855 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) )
4847alrimiv 1855 . . 3 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) )
4948alrimiv 1855 . 2 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) )
50 cotr 5508 . . . . 5 |- ( ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) )
51 mptiunrelexp.def . . . . . . . . . . . 12 |- C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) )
5251briunov2uz 37990 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) y <-> E. n e. N x ( R ^r n ) y ) )
53 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( R ^r n ) = ( R ^r i ) )
5453breqd 4664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( x ( R ^r n ) y <-> x ( R ^r i ) y ) )
5554cbvrexv 3172 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. N x ( R ^r n ) y <-> E. i e. N x ( R ^r i ) y )
5652, 55syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) y <-> E. i e. N x ( R ^r i ) y ) )
5751briunov2uz 37990 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( y ( C ` R ) z <-> E. n e. N y ( R ^r n ) z ) )
58 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( R ^r n ) = ( R ^r j ) )
5958breqd 4664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( y ( R ^r n ) z <-> y ( R ^r j ) z ) )
6059cbvrexv 3172 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. N y ( R ^r n ) z <-> E. j e. N y ( R ^r j ) z )
6157, 60syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( y ( C ` R ) z <-> E. j e. N y ( R ^r j ) z ) )
6256, 61anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) <-> ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) ) )
6351briunov2uz 37990 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) z <-> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) )
6462, 63imbi12d 334 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) )
6564albidv 1849 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) )
6665albidv 1849 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) )
6766albidv 1849 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) )
6850, 67syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) <-> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) )
6968biimprd 238 . . 3 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) ) )
70693adant3 1081 . 2 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) ) )
7149, 70mpd 15 1 |- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761
This theorem is referenced by:  dftrcl3  38012  dfrtrcl3  38025
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