relexpaddss - Mathbox for Richard Penner

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Theorem relexpaddss 38010

Description: The composition of two powers of a relation is a subset of the relation raised to the sum of those exponents. This is equality where

is a relation as shown by relexpaddd 13794 or when the sum of the powers isn't 1 as shown by relexpaddg 13793. (Contributed by RP, 3-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
relexpaddss	$/\$ $/\$

**Proof of Theorem relexpaddss**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. . 3 $\/$
2		elnn0 11294	. . . . . 6 $\/$
3	2	biimpi 206	. . . . 5 $\/$
4		relexpaddnn 13791	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5		eqimss 3657	. . . . . . . 8
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
7	6	3exp 1264	. . . . . 6
8		elnn1uz2 11765	. . . . . . 7 $\/$
9		relco 5633	. . . . . . . . . . . . . 14
10		dfrel2 5583	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
13		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14		cnvresid 5968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	14	coeq2i 5282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	13, 15, 16	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		cnvss 5294	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
22		resss 5422	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		cnvss 5294	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
25	21, 24	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
26	12, 25	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . . . 12
27		cnvcnvss 5589	. . . . . . . . . . . 12
28	26, 27	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
32		relexp0g 13762	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
34	31, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
35		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37		relexp1g 13766	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
39	36, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	34, 39	coeq12d 5286	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41	30, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
42		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	42	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	41, 43	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
46	45, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	29, 40, 46	3sstr4d 3648	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
48	47	3exp 1264	. . . . . . . 8
49		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . 14
50		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
51		cnvexg 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	51	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
53		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54	50, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
55		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
57		relexpnndm 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
58	56, 52, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
59		df-rn 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	59, 60	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	58, 61	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
63		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
64	54, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
65	49, 64	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
66		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . 14
67		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68	50, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
70		relexpcnv 13775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
72	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
73	71, 72	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	66, 73	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
75	65, 74, 71	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
76		relco 5633	. . . . . . . . . . . . 13
77		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	77	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79		cnveqb 5590	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	76, 78, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
82		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
84	32	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85	83, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
86	85	coeq1d 5283	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
87	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
88		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	50, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
90	89	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	81, 86, 92	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
94	93, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94	3exp 1264	. . . . . . . 8
96	48, 95	jaod 395	. . . . . . 7 $\/$
97	8, 96	syl5bi 232	. . . . . 6
98	7, 97	jaoi 394	. . . . 5 $\/$
99	3, 98	syl 17	. . . 4
100		elnn1uz2 11765	. . . . . . . 8 $\/$
101	100	biimpi 206	. . . . . . 7 $\/$
102		coires1 5653	. . . . . . . . . . . 12
103		resss 5422	. . . . . . . . . . . 12
104	102, 103	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
106		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
108	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
109	107, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
112	32	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	111, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	109, 113	coeq12d 5286	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	106, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
116		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
117	116	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
118	115, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
120	119, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
121	105, 114, 120	3sstr4d 3648	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
122	121	3exp 1264	. . . . . . . 8
123		coires1 5653	. . . . . . . . . . . 12
124		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
126		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
127		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
129		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
130		relexpnndm 13781	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
131	128, 129, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
132		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14
133	131, 132	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
134		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
135	125, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
136	123, 135	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
137		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
138	137	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	32	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
140	138, 139	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
141	140	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
142	137	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
143		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . 15
144	126, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
145	144	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
148	136, 141, 147	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
149	148, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
150	149	3exp 1264	. . . . . . . 8
151	122, 150	jaoi 394	. . . . . . 7 $\/$
152	101, 151	syl 17	. . . . . 6
153		coires1 5653	. . . . . . . . . 10
154		resres 5409	. . . . . . . . . 10
155		inidm 3822	. . . . . . . . . . 11
156	155	reseq2i 5393	. . . . . . . . . 10
157	153, 154, 156	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9
158		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
160	32	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
161	159, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
162		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
164	163, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
165	161, 164	coeq12d 5286	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
166	158, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
167		00id 10211	. . . . . . . . . . . . 13
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
169	166, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
170	169	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
171	170, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
172	157, 165, 171	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
173	172, 5	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
174	173	3exp 1264	. . . . . 6
175	152, 174	jaoi 394	. . . . 5 $\/$
176	3, 175	syl 17	. . . 4
177	99, 176	jaod 395	. . 3 $\/$
178	1, 177	syl5bi 232	. 2
179	178	3imp 1256	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

cid 5023

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cuz 11687

crelexp 13760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-relexp 13761

This theorem is referenced by: iunrelexpuztr 38011 cotrclrcl 38034

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