Theorem dfrtrcl3 38025

Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. Generalized from dfrtrcl2 13802. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl3	|- t* = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )

Distinct variable group:   n, r

Proof of Theorem dfrtrcl3

Dummy variables k a t s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rtrcl 13727	. 2 |- t* = ( r e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
2		relexp0g 13762	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 0 ) = ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) )
3		nn0ex 11298	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
4		0nn0 11307	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = t -> ( a ^r n ) = ( t ^r n ) )
6	5	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = t -> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) = U_ n e. NN0 ( t ^r n ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( t ^r n ) = ( t ^r k ) )
8	7	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. NN0 ( t ^r n ) = U_ k e. NN0 ( t ^r k )
9	6, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = t -> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) = U_ k e. NN0 ( t ^r k ) )
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) = ( t e. _V |-> U_ k e. NN0 ( t ^r k ) )
11	10	ov2ssiunov2 37992	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. _V /\ NN0 e. _V /\ 0 e. NN0 ) -> ( r ^r 0 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
12	3, 4, 11	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 0 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
13	2, 12	eqsstr3d 3640	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
14		relexp1g 13766	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 1 ) = r )
15		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
16	10	ov2ssiunov2 37992	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. _V /\ NN0 e. _V /\ 1 e. NN0 ) -> ( r ^r 1 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
17	3, 15, 16	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 1 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
18	14, 17	eqsstr3d 3640	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
19		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20	10	iunrelexpuztr 38011	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. _V /\ NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
21	19, 4, 20	mp3an23 1416	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
22		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. _V
23		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z <-> ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) )
24		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( r C_ z <-> r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) )
25		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
26	25, 25	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( z o. z ) = ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) )
27	26, 25	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( z o. z ) C_ z <-> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) )
28	23, 24, 27	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) )
30	29	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> A. z ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) )
31		elabgt 3347	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. _V /\ A. z ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) ) -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
32	22, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
33	13, 18, 21, 32	mpbir3and 1245	. . . . . 6 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
34		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
36		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
37		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z <-> ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s ) )
38		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( r C_ z <-> r C_ s ) )
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = s -> z = s )
40	39, 39	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( z o. z ) = ( s o. s ) )
41	40, 39	sseq12d 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( ( z o. z ) C_ z <-> ( s o. s ) C_ s ) )
42	37, 38, 41	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( z = s -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s /\ r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) )
43	36, 42	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( s e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s /\ r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = NN0
45	10	iunrelexpmin2 38004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. _V /\ NN0 = NN0 ) -> A. s ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s /\ r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
46	44, 45	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> A. s ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s /\ r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
47	46	19.21bi 2059	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ s /\ r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
48	43, 47	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( s e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
49	48	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( r e. _V -> A. s e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s )
50		ssint 4493	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> A. s e. { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s )
51	49, 50	sylibr 224	. . . . 5 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) C_ |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
52	35, 51	eqssd 3620	. . . 4 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) )
53		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = r -> ( a ^r n ) = ( r ^r n ) )
54	53	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( a = r -> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) = U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
55		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) = ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) )
56		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( r ^r n ) e. _V
57	3, 56	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ n e. NN0 ( r ^r n ) e. _V
58	54, 55, 57	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN0 ( a ^r n ) ) ` r ) = U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
59	52, 58	eqtrd 2656	. . 3 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
60	59	mpteq2ia 4740	. 2 |- ( r e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) C_ z /\ r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
61	1, 60	eqtri 2644	1 |- t* = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   t*crtcl 13725   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-rtrcl 13727  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  brfvrtrcld  38026  fvrtrcllb0d  38027  fvrtrcllb0da  38028  fvrtrcllb1d  38029  dfrtrcl4  38030  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034