Theorem lbsextg 19162

Description: For any linearly independent subset C of V, there is a basis containing the vectors in C. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsex.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsex.v	|- V = ( Base ` W )
lbsex.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lbsextg	|- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> E. s e. J C C_ s )

Distinct variable groups:   x, s, C   J, s   N, s, x   V, s   W, s, x

Allowed substitution hints:   J( x)   V( x)

Proof of Theorem lbsextg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsex.v	. 2 |- V = ( Base ` W )
2		lbsex.j	. 2 |- J = (LBasis ` W )
3		lbsex.n	. 2 |- N = ( LSpan ` W )
4		simp1l 1085	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> W e. LVec )
5		simp2 1062	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> C C_ V )
6		simp3 1063	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
7		id 22	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
8		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> { x } = { y } )
9	8	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( C \ { x } ) = ( C \ { y } ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( N ` ( C \ { x } ) ) = ( N ` ( C \ { y } ) ) )
11	7, 10	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) <-> y e. ( N ` ( C \ { y } ) ) ) )
12	11	notbid 308	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) <-> -. y e. ( N ` ( C \ { y } ) ) ) )
13	12	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) <-> A. y e. C -. y e. ( N ` ( C \ { y } ) ) )
14	6, 13	sylib 208	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> A. y e. C -. y e. ( N ` ( C \ { y } ) ) )
15	8	difeq2d 3728	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( z \ { x } ) = ( z \ { y } ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( z \ { y } ) ) )
17	7, 16	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) ) )
18	17	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) ) )
19	18	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. y e. z -. y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) )
20	19	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ z /\ A. y e. z -. y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) ) )
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ z /\ A. y e. z -. y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) ) ) )
22	21	rabbiia 3185	. 2 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. y e. z -. y e. ( N ` ( z \ { y } ) ) ) }
23		simp1r 1086	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> ~P V e. dom card )
24	1, 2, 3, 4, 5, 14, 22, 23	lbsextlem4 19161	1 |- ( ( ( W e. LVec /\ ~P V e. dom card ) /\ C C_ V /\ A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) ) -> E. s e. J C C_ s )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   dom cdm 5114   ` cfv 5888   cardccrd 8761   Basecbs 15857   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lbs 19075  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lbsext  19163  lbsexg  19164