Theorem lcfl7N 36790

Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that ( L ` G ) = V means the functional is zero by lkr0f 34381. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfl6.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfl6.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfl6.v	|- V = ( Base ` U )
lcfl6.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcfl6.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcfl6.s	|- S = (Scalar ` U )
lcfl6.r	|- R = ( Base ` S )
lcfl6.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcfl6.f	|- F = (LFnl ` U )
lcfl6.l	|- L = (LKer ` U )
lcfl6.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcfl6.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfl6.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lcfl7N	|- ( ph -> ( G e. C <-> ( ( L ` G ) = V \/ E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, k, w, .+   f, k, v, w, x, ._|_   w, .0. , x   x, C   f, G, x   f, F   f, L, x   ph, x   R, k, v   S, k, w, x   v, V, x   x, U   .x. , k, v, w   x, .+   x, R   x, .x.

Allowed substitution hints:   ph( w, v, f, k)   C( w, v, f, k)   .+ ( f)   R( w, f)   S( v, f)   .x. ( f)   U( w, v, f, k)   F( x, w, v, k)   G( w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   K( x, w, v, f, k)   L( w, v, k)   V( w, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl7N

Dummy variables l u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		lcfl6.o	. . 3 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3		lcfl6.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		lcfl6.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
5		lcfl6.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` U )
6		lcfl6.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` U )
7		lcfl6.s	. . 3 |- S = (Scalar ` U )
8		lcfl6.r	. . 3 |- R = ( Base ` S )
9		lcfl6.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` U )
10		lcfl6.f	. . 3 |- F = (LFnl ` U )
11		lcfl6.l	. . 3 |- L = (LKer ` U )
12		lcfl6.c	. . 3 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
13		lcfl6.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14		lcfl6.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lcfl6 36789	. 2 |- ( ph -> ( G e. C <-> ( ( L ` G ) = V \/ E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) ) )
16	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) ) = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) ) = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) )
19		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> x e. ( V \ { .0. } ) )
20		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> y e. ( V \ { .0. } ) )
21		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
22		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = u -> ( v = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> u = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = u -> ( E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) )
24	23	riotabidv 6613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = u -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = l -> ( k .x. x ) = ( l .x. x ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = l -> ( w .+ ( k .x. x ) ) = ( w .+ ( l .x. x ) ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = l -> ( u = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> u = ( w .+ ( l .x. x ) ) ) )
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = l -> ( E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( l .x. x ) ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( w .+ ( l .x. x ) ) = ( z .+ ( l .x. x ) ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( u = ( w .+ ( l .x. x ) ) <-> u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) )
31	30	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( l .x. x ) ) <-> E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) )
32	28, 31	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) )
33	32	cbvriotav 6622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) = ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) )
34	24, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = u -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) = ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) )
35	34	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) )
36	21, 35	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> G = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) ) )
37		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = u -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> u = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = u -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
40	39	riotabidv 6613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = u -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = l -> ( k .x. y ) = ( l .x. y ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = l -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( l .x. y ) ) )
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = l -> ( u = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> u = ( w .+ ( l .x. y ) ) ) )
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = l -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( l .x. y ) ) ) )
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( w .+ ( l .x. y ) ) = ( z .+ ( l .x. y ) ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( u = ( w .+ ( l .x. y ) ) <-> u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) )
47	46	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( l .x. y ) ) <-> E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) )
48	44, 47	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) )
49	48	cbvriotav 6622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) )
50	40, 49	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = u -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) )
51	50	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) )
52	37, 51	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> G = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) ) )
53	36, 52	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { x } ) u = ( z .+ ( l .x. x ) ) ) ) = ( u e. V |-> ( iota_ l e. R E. z e. ( ._|_ ` { y } ) u = ( z .+ ( l .x. y ) ) ) ) )
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53	lcfl7lem 36788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) -> x = y )
55	54	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( V \ { .0. } ) /\ y e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) -> x = y ) )
56	55	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( V \ { .0. } ) A. y e. ( V \ { .0. } ) ( ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) -> x = y ) )
57	56	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) -> A. x e. ( V \ { .0. } ) A. y e. ( V \ { .0. } ) ( ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) -> x = y ) ) )
58	57	ancld 576	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ A. x e. ( V \ { .0. } ) A. y e. ( V \ { .0. } ) ( ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) -> x = y ) ) ) )
59		sneq 4187	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> { x } = { y } )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ._|_ ` { x } ) = ( ._|_ ` { y } ) )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( k .x. x ) = ( k .x. y ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( w .+ ( k .x. x ) ) = ( w .+ ( k .x. y ) ) )
63	62	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( v = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
64	60, 63	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
65	64	riotabidv 6613	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) )
66	65	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) <-> G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
68	67	reu4 3400	. . . . 5 |- ( E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) <-> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ A. x e. ( V \ { .0. } ) A. y e. ( V \ { .0. } ) ( ( G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) /\ G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) -> x = y ) ) )
69	58, 68	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) -> E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) )
70		reurex 3160	. . . 4 |- ( E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) -> E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
71	69, 70	impbid1 215	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) <-> E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) )
72	71	orbi2d 738	. 2 |- ( ph -> ( ( ( L ` G ) = V \/ E. x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) <-> ( ( L ` G ) = V \/ E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) ) )
73	15, 72	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( G e. C <-> ( ( L ` G ) = V \/ E! x e. ( V \ { .0. } ) G = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   \ cdif 3571   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684

This theorem is referenced by: (None)