Theorem lcfrlem32 36863

Description: Lemma for lcfr 36874. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem17.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem17.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem17.v	|- V = ( Base ` U )
lcfrlem17.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem17.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcfrlem17.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem17.a	|- A = (LSAtoms ` U )
lcfrlem17.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem17.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.ne	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
lcfrlem22.b	|- B = ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
lcfrlem24.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcfrlem24.s	|- S = (Scalar ` U )
lcfrlem24.q	|- Q = ( 0g ` S )
lcfrlem24.r	|- R = ( Base ` S )
lcfrlem24.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcfrlem24.ib	|- ( ph -> I e. B )
lcfrlem24.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem25.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem28.jn	|- ( ph -> ( ( J ` Y ) ` I ) =/= Q )
lcfrlem29.i	|- F = ( invr ` S )
lcfrlem30.m	|- .- = ( -g ` D )
lcfrlem30.c	|- C = ( ( J ` X ) .- ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) )
lcfrlem31.xi	|- ( ph -> ( ( J ` X ) ` I ) =/= Q )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem32	|- ( ph -> C =/= ( 0g ` D ) )

Distinct variable groups:   v, k, w, x, ._|_   .+ , k, v, w, x   R, k, v, x   S, k   .x. , k, v, w, x   v, V, x   k, X, v, w, x   k, Y, v, w, x   x, .0.

Allowed substitution hints:   ph( x, w, v, k)   A( x, w, v, k)   B( x, w, v, k)   C( x, w, v, k)   D( x, w, v, k)   Q( x, w, v, k)   R( w)   S( x, w, v)   U( x, w, v, k)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, k)   I( x, w, v, k)   J( x, w, v, k)   K( x, w, v, k)   L( x, w, v, k)   .- ( x, w, v, k)   N( x, w, v, k)   V( w, k)   W( x, w, v, k)   .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.ne	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
2		lcfrlem17.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		lcfrlem17.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcfrlem17.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		lcfrlem17.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
6		lcfrlem17.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` U )
7		lcfrlem17.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` U )
8		lcfrlem17.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` U )
9		lcfrlem17.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` U )
10		lcfrlem17.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12		lcfrlem17.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
14		lcfrlem17.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
16	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
17		lcfrlem22.b	. . . . 5 |- B = ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
18		lcfrlem24.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
19		lcfrlem24.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` U )
20		lcfrlem24.q	. . . . 5 |- Q = ( 0g ` S )
21		lcfrlem24.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` S )
22		lcfrlem24.j	. . . . 5 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
23		lcfrlem24.ib	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. B )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> I e. B )
25		lcfrlem24.l	. . . . 5 |- L = (LKer ` U )
26		lcfrlem25.d	. . . . 5 |- D = (LDual ` U )
27		lcfrlem28.jn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( J ` Y ) ` I ) =/= Q )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> ( ( J ` Y ) ` I ) =/= Q )
29		lcfrlem29.i	. . . . 5 |- F = ( invr ` S )
30		lcfrlem30.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` D )
31		lcfrlem30.c	. . . . 5 |- C = ( ( J ` X ) .- ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) )
32		lcfrlem31.xi	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( J ` X ) ` I ) =/= Q )
33	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> ( ( J ` X ) ` I ) =/= Q )
34		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> C = ( 0g ` D ) )
35	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34	lcfrlem31 36862	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = ( 0g ` D ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
36	35	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( C = ( 0g ` D ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) )
37	36	necon3d 2815	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) -> C =/= ( 0g ` D ) ) )
38	1, 37	mpd 15	1 |- ( ph -> C =/= ( 0g ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   invrcinvr 18671   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261  LKerclk 34372  LDualcld 34410   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684

This theorem is referenced by:  lcfrlem34  36865