MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem leibpilem1 24667
Description: Lemma for leibpi 24669. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( N e. NN /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
Proof of Theorem leibpilem1
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11294 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
21biimpi 206 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32ord 392 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( -. N e. NN -> N = 0 ) )
43con1d 139 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( -. N = 0 -> N e. NN ) )
54imp 445 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
65adantrr 753 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> N e. NN )
7 nn0z 11400 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
87adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
9 odd2np1 15065 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
108, 9syl 17 . . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
11 zcn 11382 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
12 2cn 11091 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
13 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
1412, 13mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. CC -> ( 2 x. n ) e. CC )
15 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
16 pncan 10287 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
1714, 15, 16sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
1817oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. CC -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
19 2ne0 11113 . . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
20 divcan3 10711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
2112, 19, 20mp3an23 1416 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. CC -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
2218, 21eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( n e. CC -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
24 id 22 . . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
2523, 24eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
26 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
2726oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
2827eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
2925, 28syl5ibcom 235 . . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3029rexlimiv 3027 . . . . 5 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
3110, 30syl6bi 243 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> ( -. 2 || N -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3231impr 649 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
33 nnm1nn0 11334 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
346, 33syl 17 . . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
3534nn0red 11352 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
3634nn0ge0d 11354 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> 0 <_ ( N - 1 ) )
37 2re 11090 . . . . 5 |- 2 e. RR
3837a1i 11 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> 2 e. RR )
39 2pos 11112 . . . . 5 |- 0 < 2
4039a1i 11 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> 0 < 2 )
41 divge0 10892 . . . 4 |- ( ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 1327 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> 0 <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43 elnn0z 11390 . . 3 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
4432, 42, 43sylanbrc 698 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
456, 44jca 554 1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( -. N = 0 /\ -. 2 || N ) ) -> ( N e. NN /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-dvds 14984
This theorem is referenced by:  leibpilem2  24668  leibpi  24669
  Copyright terms: Public domain W3C validator