Theorem leibpi 24669

Description: The Leibniz formula for pi. This proof depends on three main facts: (1) the series F is convergent, because it is an alternating series (iseralt 14415). (2) Using leibpilem2 24668 to rewrite the series as a power series, it is the x = 1 special case of the Taylor series for arctan (atantayl2 24665). (3) Although we cannot directly plug x = 1 into atantayl2 24665, Abel's theorem (abelth2 24196) says that the limit along any sequence converging to 1, such as 1 - 1 / n, of the power series converges to the power series extended to 1, and then since arctan is continuous at 1 (atancn 24663) we get the desired result. This is Metamath 100 proof #26. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
leibpi.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
leibpi	|- seq 0 ( + , F ) ~~> ( pi / 4 )

Proof of Theorem leibpi

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
3		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( T. /\ j e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
4		0cnd 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( k = 0 \/ 2 || k ) ) -> 0 e. CC )
5		ioran 511	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( k = 0 \/ 2 || k ) <-> ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) )
6		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. RR
7		leibpilem1 24667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( k e. NN /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
8	7	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
9		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. RR )
10	6, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. RR )
11	7	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> k e. NN )
12	10, 11	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) e. RR )
13	12	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) e. CC )
14	5, 13	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ -. ( k = 0 \/ 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) e. CC )
15	4, 14	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) e. CC )
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) e. CC )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) )
18	16, 17	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( T. -> ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) : NN0 --> CC )
19	18	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( T. /\ j e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) e. CC )
20		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 2 e. NN0 )
22		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
23	21, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN0 ) -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
24		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN )
26	25	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
28	26, 27	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) : NN0 --> RR )
29		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
30	21, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
31	30	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
32		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
34		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. NN0 )
35	20, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. NN0 )
36	35	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
37		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
38		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
40	39	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k <_ ( k + 1 ) )
41		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. RR )
43		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
45		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < 2 )
47		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( k <_ ( k + 1 ) <-> ( 2 x. k ) <_ ( 2 x. ( k + 1 ) ) ) )
48	39, 42, 44, 46, 47	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ ( k + 1 ) <-> ( 2 x. k ) <_ ( 2 x. ( k + 1 ) ) ) )
49	40, 48	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) <_ ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
50	31, 36, 37, 49	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
51		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
52	30, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
53	52	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
55		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. NN )
56	35, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. NN )
57	56	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. RR )
58	56	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
59		lerec 10906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
60	53, 54, 57, 58, 59	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
61	50, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
62		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) )
65		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) e. _V
66	64, 27, 65	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) )
67	33, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. _V
72	70, 27, 71	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
74	61, 67, 73	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) )
75		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
76		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
77		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
78		divcnv 14585	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
79	77, 78	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
80		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 e. _V
81	80	mptex 6486	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( 1 / n ) = ( 1 / k ) )
84		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
85		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / k ) e. _V
86	83, 84, 85	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) = ( 1 / k ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) = ( 1 / k ) )
88		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR )
90	87, 89	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) e. RR )
91		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
93	92, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
94	91, 52	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
95	94	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
96	93, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) e. RR )
97		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. RR )
99	20, 92, 29	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
100	99	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
101		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. k ) e. RR -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
103		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ k e. NN0 ) -> k <_ ( k + k ) )
104	98, 92, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k <_ ( k + k ) )
105	98	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. CC )
106	105	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) = ( k + k ) )
107	104, 106	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k <_ ( 2 x. k ) )
108	100	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
109	98, 100, 102, 107, 108	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
110		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 0 < k )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 0 < k )
112	94	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
113	94	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
114		lerec 10906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 < k ) /\ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) -> ( k <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) ) )
115	98, 111, 112, 113, 114	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) ) )
116	109, 115	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) )
117	116, 93, 87	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) )
118	94	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR+ )
119	118	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
121	120, 93	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) )
122	75, 76, 79, 82, 90, 96, 117, 121	climsqz2 14372	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ~~> 0 )
123		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. CC
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> -u 1 e. CC )
125		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ k ) e. CC )
126	124, 125	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ k ) e. CC )
127	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
128	52	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
129	126, 127, 128	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
130		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( -u 1 ^ n ) = ( -u 1 ^ k ) )
131	130, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
133		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 ^ k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. _V
134	131, 132, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
136	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
137	129, 135, 136	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ` k ) ) )
138	1, 2, 28, 74, 122, 137	iseralt 14415	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. dom ~~> )
139		climdm 14285	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
140	138, 139	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
141		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) e. _V
142	132, 17, 141	leibpilem2 24668	. . . . . . 7 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) <-> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
143	140, 142	sylib 208	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
144		seqex 12803	. . . . . . 7 |- seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) e. _V
145	144, 141	breldm 5329	. . . . . 6 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) e. dom ~~> )
146	143, 145	syl 17	. . . . 5 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) e. dom ~~> )
147	1, 2, 3, 19, 146	isumclim2 14489	. . . 4 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
148		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) )
149	18, 146, 148	abelth2 24196	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
150		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> n e. RR+ )
152	151	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
153	152	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
154	152	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / n ) )
155		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> 1 <_ n )
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 <_ n )
157		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR )
158	157	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> n e. RR )
159	158	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> n e. CC )
160	159	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( n x. 1 ) = n )
161	156, 160	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 <_ ( n x. 1 ) )
162		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. RR )
163		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> 0 < n )
164	163	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 0 < n )
165		ledivmul 10899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / n ) <_ 1 <-> 1 <_ ( n x. 1 ) ) )
166	162, 162, 158, 164, 165	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) <_ 1 <-> 1 <_ ( n x. 1 ) ) )
167	161, 166	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) <_ 1 )
168		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
169		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
170	168, 169	elicc2i 12239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / n ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / n ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / n ) /\ ( 1 / n ) <_ 1 ) )
171	153, 154, 167, 170	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
172		iirev 22728	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
174		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) )
175	173, 174	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
176		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. CC )
177		nnex 11026	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
178	177	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) e. _V
179	178	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) e. _V )
180	90	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) e. CC )
181	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 - ( 1 / n ) ) = ( 1 - ( 1 / k ) ) )
182		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 - ( 1 / k ) ) e. _V
183	181, 174, 182	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ` k ) = ( 1 - ( 1 / k ) ) )
184	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / k ) ) )
185	183, 184	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) ) )
186	185	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) ) )
187	75, 76, 79, 176, 179, 180, 186	climsubc2 14369	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ~~> ( 1 - 0 ) )
188		1m0e1 11131	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 0 ) = 1
189	187, 188	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ~~> 1 )
190		1elunit 12291	. . . . . . . 8 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
191	190	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
192	75, 76, 149, 175, 189, 191	climcncf 22703	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) o. ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) ` 1 ) )
193		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
194		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) )
195		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 - ( 1 / n ) ) -> ( x ^ j ) = ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 - ( 1 / n ) ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
197	196	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 - ( 1 / n ) ) -> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) = sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
198	173, 193, 194, 197	fmptco 6396	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) o. ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) ) )
199		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 0 e. ZZ )
200	8	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T. /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
201	6, 200, 9	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T. /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. RR )
202	201	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T. /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
203	202	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
204		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / n ) e. RR ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. RR )
205	169, 153, 204	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. RR )
206	205	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. RR )
207		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> k e. NN0 )
208	206, 207	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) e. RR )
209	208	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) e. CC )
210		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
211	210	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> k e. CC )
212	11	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> k e. NN )
213	212	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> k =/= 0 )
214	203, 209, 211, 213	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) x. ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) )
215	13	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) e. CC )
216	209, 215	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) x. ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
217	214, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
218	5, 217	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ -. ( k = 0 \/ 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
219	218	ifeq2da 4117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) ) )
220	205	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. CC )
221		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) e. CC )
222	220, 221	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) e. CC )
223	222	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( 0 x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) = 0 )
224	223	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , ( 0 x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) , ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) ) )
225	219, 224	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , ( 0 x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) , ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) ) )
226		ovif 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , ( 0 x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) , ( ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
227	225, 226	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = ( if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
228		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
229		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
230		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) e. _V
231	229, 230	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) e. _V
232		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
233	232	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN0 /\ if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) e. _V ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
234	228, 231, 233	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
235		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) e. _V
236	229, 235	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) e. _V
237	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN0 /\ if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) e. _V ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) )
238	228, 236, 237	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) )
239	238	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) = ( if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
240	227, 234, 239	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
241	240	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> A. k e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) )
242		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) )
243		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j )
244		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j )
245		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k x.
246		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j )
247	244, 245, 246	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) )
248	243, 247	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) )
249		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
250		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
251		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) = ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) )
252	250, 251	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
253	249, 252	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) ) )
254	242, 248, 253	cbvral 3167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` k ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) ) <-> A. j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
255	241, 254	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> A. j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
256	255	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) )
257		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( k = 0 \/ 2 || k ) ) -> 0 e. CC )
258	208, 212	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) e. RR )
259	258	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) e. CC )
260	203, 259	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ ( -. k = 0 /\ -. 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) e. CC )
261	5, 260	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) /\ -. ( k = 0 \/ 2 || k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) e. CC )
262	257, 261	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) e. CC )
263	262, 232	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
264	263	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) e. CC )
265	256, 264	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) e. CC )
266		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 0 e. NN0 )
268		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
269		seqeq1 12804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) )
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) )
271		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
272		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
273		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
274	273	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. NN -> -. k = 0 )
275		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. k = 0 -> ( 2 || k <-> ( k = 0 \/ 2 || k ) ) )
276	274, 275	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. NN -> ( 2 || k <-> ( k = 0 \/ 2 || k ) ) )
277	276	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> ( ( k = 0 \/ 2 || k ) <-> 2 || k ) )
278	277	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
279	91, 231, 233	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
280	229, 230	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) e. _V
281		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) = ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
282	281	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN /\ if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) e. _V ) -> ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
283	280, 282	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) )
284	278, 279, 283	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) )
285	284	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A. k e. NN ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k )
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> A. k e. NN ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) )
287		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ j ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k )
288		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j )
289	243, 288	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j )
290		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
291	249, 290	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) ) )
292	287, 289, 291	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. k e. NN ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` k ) <-> A. j e. NN ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
293	286, 292	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> A. j e. NN ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
294	293	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
295	272, 294	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ n e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) = ( ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` j ) )
296	271, 295	seqfeq 12826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) )
297	153, 162, 167	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) = ( 1 - ( 1 / n ) ) )
298		ltsubrp 11866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / n ) e. RR+ ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) < 1 )
299	169, 152, 298	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) < 1 )
300	297, 299	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) < 1 )
301	281	atantayl2 24665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
302	220, 300, 301	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN |-> if ( 2 || k , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
303	296, 302	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
304	270, 303	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
305	1, 267, 264, 304	clim2ser2 14386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> ( (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) ) )
306		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
307		seq1 12814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` 0 ) )
308	306, 307	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` 0 )
309		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k = 0 \/ 2 || k ) -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = 0 )
310	309	orcs 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) = 0 )
311	310, 232, 229	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` 0 ) = 0 )
312	266, 311	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ` 0 ) = 0
313	308, 312	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) = 0
314	313	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) + 0 )
315		atanrecl 24638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 - ( 1 / n ) ) e. RR -> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) e. RR )
316	205, 315	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) e. RR )
317	316	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) e. CC )
318	317	addid1d 10236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) + 0 ) = (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
319	314, 318	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
320	305, 319	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ k ) / k ) ) ) ) ) ~~> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
321	1, 199, 256, 265, 320	isumclim 14488	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) = (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
322	321	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( n e. NN |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( ( 1 - ( 1 / n ) ) ^ j ) ) ) = ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) )
323	198, 322	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) o. ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) )
324		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( x ^ j ) = ( 1 ^ j ) )
325		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
326		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ZZ -> ( 1 ^ j ) = 1 )
327	325, 326	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN0 -> ( 1 ^ j ) = 1 )
328	324, 327	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = 1 /\ j e. NN0 ) -> ( x ^ j ) = 1 )
329	328	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. 1 ) )
330	18	trud 1493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) : NN0 --> CC
331	330	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) e. CC )
332	331	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN0 -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. 1 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
333	332	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. 1 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
334	329, 333	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
335	334	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) = sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
336		sumex 14418	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) e. _V
337	335, 148, 336	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) ` 1 ) = sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
338	190, 337	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) x. ( x ^ j ) ) ) ` 1 ) = sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
339	192, 323, 338	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) )
340		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
341		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } = { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) }
342	340, 341	atancn 24663	. . . . . . . 8 |- (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) e. ( { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } -cn-> CC )
343	342	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) e. ( { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } -cn-> CC ) )
344		unitssre 12319	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
345	340, 341	ressatans 24661	. . . . . . . . 9 |- RR C_ { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) }
346	344, 345	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] 1 ) C_ { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) }
347		fss 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) /\ ( 0 [,] 1 ) C_ { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) : NN --> { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } )
348	175, 346, 347	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) : NN --> { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } )
349	345, 169	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- 1 e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) }
350	349	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } )
351	75, 76, 343, 348, 189, 350	climcncf 22703	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) o. ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` 1 ) )
352	346, 173	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / n ) ) e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } )
353		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) e. ( { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } -cn-> CC ) -> (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) : { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } --> CC )
354	342, 353	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) : { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } --> CC )
355	354	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) = ( k e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } |-> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` k ) ) )
356		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` k ) = (arctan ` k ) )
357	356	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } |-> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` k ) ) = ( k e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } |-> (arctan ` k ) )
358	355, 357	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( T. -> (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) = ( k e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } |-> (arctan ` k ) ) )
359		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = ( 1 - ( 1 / n ) ) -> (arctan ` k ) = (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) )
360	352, 193, 358, 359	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) o. ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) )
361		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` 1 ) = (arctan ` 1 ) )
362	349, 361	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` 1 ) = (arctan ` 1 ) )
363		atan1 24655	. . . . . . 7 |- (arctan ` 1 ) = ( pi / 4 )
364	362, 363	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (arctan |` { x e. CC | ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) } ) ` 1 ) = ( pi / 4 ) )
365	351, 360, 364	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> ( pi / 4 ) )
366		climuni 14283	. . . . 5 |- ( ( ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) /\ ( n e. NN |-> (arctan ` ( 1 - ( 1 / n ) ) ) ) ~~> ( pi / 4 ) ) -> sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) = ( pi / 4 ) )
367	339, 365, 366	syl2anc 693	. . . 4 |- ( T. -> sum_ j e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ` j ) = ( pi / 4 ) )
368	147, 367	breqtrd 4679	. . 3 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( pi / 4 ) )
369	368	trud 1493	. 2 |- seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( pi / 4 )
370		leibpi.1	. . 3 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
371		ovex 6678	. . 3 |- ( pi / 4 ) e. _V
372	370, 17, 371	leibpilem2 24668	. 2 |- ( seq 0 ( + , F ) ~~> ( pi / 4 ) <-> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( ( k = 0 \/ 2 || k ) , 0 , ( ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) / k ) ) ) ) ~~> ( pi / 4 ) )
373	369, 372	mpbir 221	1 |- seq 0 ( + , F ) ~~> ( pi / 4 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   picpi 14797   || cdvds 14983   -cn->ccncf 22679  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  leibpisum  24670