Theorem lfuhgr1v0e 26146

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	|- V = (Vtx ` G )
lfuhgr1v0e.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgr1v0e.e	|- E = { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	|- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 /\ I : dom I --> E ) -> (Edg ` G ) = (/) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   I( x)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 ) -> I = (iEdg ` G ) )
3	1	dmeqi 5325	. . . . . 6 |- dom I = dom (iEdg ` G )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 ) -> dom I = dom (iEdg ` G ) )
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 |- E = { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) }
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (Vtx ` G )
7		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` G ) e. _V
8	6, 7	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- V e. _V
9		hash1snb 13207	. . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } )
11		pweq 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = { v } -> ~P V = ~P { v } )
12	11	rabeqdv 3194	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { v } -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = { x e. ~P { v } | 2 <_ ( # ` x ) } )
13		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
14		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
15		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
16	14, 15	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 < 2 <-> -. 2 <_ 0 )
17	13, 16	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 2 <_ 0
18		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 < 2
19		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
20	19, 15	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
21	18, 20	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 2 <_ 1
22		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. _V
23		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { v } e. _V
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
25		hash0 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( # ` (/) ) = 0
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( 2 <_ ( # ` x ) <-> 2 <_ 0 ) )
28	27	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( -. 2 <_ ( # ` x ) <-> -. 2 <_ 0 ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = { v } -> ( # ` x ) = ( # ` { v } ) )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
31		hashsng 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. _V -> ( # ` { v } ) = 1 )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( # ` { v } ) = 1
33	29, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = { v } -> ( # ` x ) = 1 )
34	33	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { v } -> ( 2 <_ ( # ` x ) <-> 2 <_ 1 ) )
35	34	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { v } -> ( -. 2 <_ ( # ` x ) <-> -. 2 <_ 1 ) )
36	22, 23, 28, 35	ralpr 4238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. { (/) , { v } } -. 2 <_ ( # ` x ) <-> ( -. 2 <_ 0 /\ -. 2 <_ 1 ) )
37	17, 21, 36	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. x e. { (/) , { v } } -. 2 <_ ( # ` x )
38		pwsn 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { v } = { (/) , { v } }
39	38	raleqi 3142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ~P { v } -. 2 <_ ( # ` x ) <-> A. x e. { (/) , { v } } -. 2 <_ ( # ` x ) )
40	37, 39	mpbir 221	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. ~P { v } -. 2 <_ ( # ` x )
41		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. ~P { v } | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) <-> A. x e. ~P { v } -. 2 <_ ( # ` x ) )
42	40, 41	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P { v } | 2 <_ ( # ` x ) } = (/)
43	12, 42	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { v } -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) )
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( V = { v } -> ( G e. UHGraph -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) ) )
45	44	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. v V = { v } -> ( G e. UHGraph -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) ) )
46	10, 45	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( ( # ` V ) = 1 -> ( G e. UHGraph -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) ) )
47	46	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 ) -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = (/) )
48	5, 47	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 ) -> E = (/) )
49	2, 4, 48	feq123d 6034	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 ) -> ( I : dom I --> E <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> (/) ) )
50	49	biimp3a 1432	. . 3 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 /\ I : dom I --> E ) -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> (/) )
51		f00 6087	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> (/) <-> ( (iEdg ` G ) = (/) /\ dom (iEdg ` G ) = (/) ) )
52	51	simplbi 476	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> (/) -> (iEdg ` G ) = (/) )
53	50, 52	syl 17	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 /\ I : dom I --> E ) -> (iEdg ` G ) = (/) )
54		uhgriedg0edg0 26022	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( (Edg ` G ) = (/) <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
55	54	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 /\ I : dom I --> E ) -> ( (Edg ` G ) = (/) <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
56	53, 55	mpbird 247	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 1 /\ I : dom I --> E ) -> (Edg ` G ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953

This theorem is referenced by:  usgr1vr  26147  vtxdlfuhgr1v  26375