Theorem lnconi 28892

Description: Lemma for lnopconi 28893 and lnfnconi 28914. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncon.1	|- ( T e. C -> S e. RR )
lncon.2	|- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
lncon.3	|- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
lncon.4	|- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
lncon.5	|- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lnconi	|- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, N   y, M   w, T, x, y, z   x, S, y   y, C

Allowed substitution hints:   C( x, z, w)   S( z, w)   M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lncon.1	. . 3 |- ( T e. C -> S e. RR )
2		lncon.2	. . . 4 |- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
3	2	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( T e. C -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
4		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x x. ( normh ` y ) ) = ( S x. ( normh ` y ) ) )
5	4	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = S -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
7	6	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( S e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
8	1, 3, 7	syl2anc 693	. 2 |- ( T e. C -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
9		arch 11289	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < n )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN x < n )
11		nnre 11027	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. RR )
12		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x e. RR )
13		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> n e. RR )
14		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( normh ` y ) e. RR )
16		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` y ) )
18		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ n e. RR ) -> ( x < n -> x <_ n ) )
19	18	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x <_ n )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x <_ n )
21	12, 13, 15, 17, 20	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
22		lncon.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
24		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x e. RR )
25		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
26	24, 14, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> n e. RR )
28		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
29	27, 14, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
30		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR /\ ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
31	23, 26, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
32	21, 31	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
33	32	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
34	33	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
35	34	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. RR ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
36	11, 35	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
37	36	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( E. n e. NN x < n -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
38	10, 37	mpd 15	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
39	38	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
40		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
41		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. NN )
42	41	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. RR+ )
43	40, 42	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> ( z / n ) e. RR+ )
44		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> w e. ~H )
45		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> x e. ~H )
46		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( w -h x ) e. ~H )
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( w -h x ) e. ~H )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( T ` y ) = ( T ` ( w -h x ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( N ` ( T ` y ) ) = ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( w -h x ) ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) = ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
52	49, 51	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) ) )
53	52	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w -h x ) e. ~H /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
54	47, 53	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
55	54	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
56	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR ) )
57	56, 22	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
58	47, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
59	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> n e. RR )
60		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
61	47, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
62		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
63	59, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
64		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR+ )
65	64	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR )
66		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
67	58, 63, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
69	55, 68	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
70		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
73		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
74	61, 65, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
75	74	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
76		lncon.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
77	44, 45, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) = ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) )
80	79	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
81	69, 75, 80	3imtr3d 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
82	81	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. ~H ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
84		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
85	84	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
86	85	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z / n ) -> ( A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
87	86	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( z / n ) e. RR+ /\ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
88	43, 83, 87	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
89	88	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
90	89	rexlimiva 3028	. . . 4 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
91		lncon.3	. . . 4 |- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
92	90, 91	sylibr 224	. . 3 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
93	39, 92	syl 17	. 2 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
94	8, 93	impbii 199	1 |- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   ~Hchil 27776   normhcno 27780   -h cmv 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828

This theorem is referenced by:  lnopconi  28893  lnfnconi  28914