Theorem madjusmdetlem2 29894

Description: Lemma for madjusmdet 29897. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	|- B = ( Base ` A )
madjusmdet.a	|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
madjusmdet.d	|- D = ( ( 1 ... N ) maDet R )
madjusmdet.k	|- K = ( ( 1 ... N ) maAdju R )
madjusmdet.t	|- .x. = ( .r ` R )
madjusmdet.z	|- Z = ( ZRHom ` R )
madjusmdet.e	|- E = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) maDet R )
madjusmdet.n	|- ( ph -> N e. NN )
madjusmdet.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madjusmdet.i	|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.j	|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.m	|- ( ph -> M e. B )
madjusmdetlem2.p	|- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
madjusmdetlem2.s	|- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
madjusmdetlem2	|- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Distinct variable groups:   B, i   i, I   i, J   i, M   i, N   P, i   R, i   ph, i   S, i

Allowed substitution hints:   A( i)   D( i)   .x. ( i)   E( i)   K( i)   X( i)   Z( i)

Proof of Theorem madjusmdetlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) = ( 1 ... N )
7		madjusmdetlem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) = ( SymGrp ` ( 1 ... N ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) )
10	6, 7, 8, 9	fzto1st 29853	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 1 ... N ) -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
12	8, 9	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
15		fznatpl1 12395	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
16	1, 15	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
17		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> ( i = 1 <-> x = 1 ) )
18		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i <_ N <-> x <_ N ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i - 1 ) = ( x - 1 ) )
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> i = x )
21	18, 19, 20	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
22	17, 21	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = x -> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
23	22	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
24	7, 23	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
27		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 e. RR )
28		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN
29		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
30	28, 29	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN )
31	30	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. RR+ )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. RR+ )
33	27, 32	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < ( X + 1 ) )
34	27, 33	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= ( X + 1 ) )
35	34	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) =/= 1 )
36	26, 35	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
37	36	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
38	37	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
39	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
40	30	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN0 )
41	39	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
42		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
44		nn0ltlem1 11437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( X < N <-> X <_ ( N - 1 ) ) )
45	44	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ X <_ ( N - 1 ) ) -> X < N )
46	40, 41, 43, 45	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X < N )
47		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. NN /\ N e. NN ) -> ( X < N <-> ( X + 1 ) <_ N ) )
48	47	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. NN /\ N e. NN ) /\ X < N ) -> ( X + 1 ) <_ N )
49	30, 39, 46, 48	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
51	26, 50	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ N )
52	51	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
53	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = ( ( X + 1 ) - 1 ) )
54	30	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
55		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
56	54, 55	pncand 10393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
58	53, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
59	38, 52, 58	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
60	25, 59, 16, 29	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
61	60	idi 2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
62		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . 8 |- ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( S ` ( X + 1 ) ) = X -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) ) )
63	62	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) /\ ( S ` ( X + 1 ) ) = X ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
64	14, 16, 61, 63	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
67		madjusmdetlem2.p	. . . . . . 7 |- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
68	20	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( i <_ I <-> x <_ I ) )
69	68, 19, 20	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
70	17, 69	ifbieq2d 4111	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
71	70	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
72	67, 71	eqtri 2644	. . . . . 6 |- P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
73	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
74	33, 26	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < x )
75	27, 74	ltned 10173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= x )
76	75	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
77	76	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
78	77	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
79	78	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
80		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
81	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. NN )
82		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ NN
83		madjusmdet.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
84	82, 83	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. NN )
85	84	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> I e. NN )
86		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X < I )
87		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN /\ I e. NN ) -> ( X < I <-> ( X + 1 ) <_ I ) )
88	87	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
89	81, 85, 86, 88	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ I )
90	80, 89	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ I )
91	90	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
92	58	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
93	79, 91, 92	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
94	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
95		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
96	73, 93, 94, 95	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = X )
97	66, 96	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
98	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
99	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
100	78	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
101	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X e. NN )
102	84	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> I e. NN )
103	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x = ( X + 1 ) )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x <_ I )
105	103, 104	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
106	87	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ ( X + 1 ) <_ I ) -> X < I )
107	101, 102, 105, 106	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X < I )
108	107	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x <_ I -> X < I ) )
109	108	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( -. X < I -> -. x <_ I ) )
110	109	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ -. X < I ) -> -. x <_ I )
111	110	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x <_ I )
112	111	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = x )
113		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
114	112, 113	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( X + 1 ) )
115	100, 114	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = ( X + 1 ) )
116	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
117	99, 115, 116, 116	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = ( X + 1 ) )
118	98, 117	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
119	97, 118	ifeqda 4121	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
120		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
121	11, 12, 120	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
122		f1ofun 6139	. . . . 5 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> Fun `' S )
123	121, 122	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun `' S )
124	123	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> Fun `' S )
125		fzdif2 29551	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
126	3, 125	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
127		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) \ { N } ) C_ ( 1 ... N )
128	126, 127	syl6eqssr 3656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
129		f1odm 6141	. . . . . . 7 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
130	121, 129	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
131	128, 130	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
132	131	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
133	132, 29	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. dom `' S )
134		fvco 6274	. . 3 |- ( ( Fun `' S /\ X e. dom `' S ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
135	124, 133, 134	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
136	119, 135	eqtr4d 2659	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   SymGrpcsymg 17797   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390   maAdju cmadu 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  29895