Theorem nnrpd 11870

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnrp 11842	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   NNcn 11020   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  11871  modmulnn  12688  mulp1mod1  12711  modsumfzodifsn  12743  addmodlteq  12745  nnesq  12988  digit1  12998  bcpasc  13108  cshwn  13543  iseralt  14415  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  fprodmodd  14728  ege2le3  14820  eftlub  14839  effsumlt  14841  eirrlem  14932  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  dvdsmod  15050  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  bitsres  15195  smumul  15215  bezoutlem3  15258  eucalglt  15298  prmind2  15398  crth  15483  eulerthlem2  15487  fermltl  15489  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  odzdvds  15500  vfermltlALT  15507  powm2modprm  15508  modprm0  15510  modprmn0modprm0  15512  prmreclem3  15622  prmreclem5  15624  prmreclem6  15625  4sqlem5  15646  4sqlem6  15647  4sqlem7  15648  4sqlem10  15651  4sqlem12  15660  vdwlem1  15685  mndodcong  17961  odmod  17965  oddvds  17966  dfod2  17981  gexexlem  18255  zringlpirlem3  19834  met1stc  22326  met2ndci  22327  lebnumlem3  22762  lebnumii  22765  ovollb2lem  23256  ovoliunlem1  23270  ovoliunlem3  23272  uniioombllem6  23356  itg2cnlem2  23529  elqaalem2  24075  aalioulem2  24088  aalioulem4  24090  aalioulem5  24091  aaliou2b  24096  aaliou3lem9  24105  logfac  24347  cxpeq  24498  leibpi  24669  amgmlem  24716  emcllem1  24722  emcllem2  24723  emcllem3  24724  emcllem5  24726  harmoniclbnd  24735  harmonicubnd  24736  harmonicbnd4  24737  fsumharmonic  24738  zetacvg  24741  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgambdd  24763  lgamucov  24764  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  regamcl  24787  relgamcl  24788  lgam1  24790  wilthlem1  24794  wilthlem2  24795  basellem1  24807  basellem6  24812  basellem8  24814  chtf  24834  efchtcl  24837  chtge0  24838  vmacl  24844  efvmacl  24846  sgmnncl  24873  chtprm  24879  chtdif  24884  efchtdvds  24885  prmorcht  24904  sgmppw  24922  vmalelog  24930  chtleppi  24935  chtublem  24936  fsumvma2  24939  pclogsum  24940  vmasum  24941  chpchtsum  24944  chpub  24945  logfacubnd  24946  logfaclbnd  24947  logfacbnd3  24948  logfacrlim  24949  logexprlim  24950  logfacrlim2  24951  perfectlem2  24955  bclbnd  25005  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  bposlem7  25015  bposlem9  25017  lgslem1  25022  lgslem4  25025  lgsvalmod  25041  lgsmod  25048  lgsdirprm  25056  lgsne0  25060  lgsqrlem2  25072  gausslemma2dlem0i  25089  gausslemma2dlem5a  25095  gausslemma2d  25099  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  lgseisen  25104  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  m1lgs  25113  2sqlem8  25151  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chtppilimlem1  25162  chtppilimlem2  25163  chtppilim  25164  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  dchrisum0lem1a  25175  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lema  25203  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  dchrisum0  25209  dirith2  25217  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  logsqvma  25231  log2sumbnd  25233  selberglem1  25234  selberglem2  25235  selberglem3  25236  selberg  25237  selbergb  25238  selberg2lem  25239  selberg2  25240  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd2  25256  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntsf  25262  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemn  25289  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  pnt  25303  padicabvcxp  25321  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  ostth2lem4  25325  ostth2  25326  ostth3  25327  clwwisshclwwslemlem  26926  numclwwlk5  27246  numclwwlk7  27249  ubthlem2  27727  minvecolem3  27732  lnconi  28892  ltesubnnd  29568  2sqmod  29648  madjusmdetlem2  29894  eulerpartlemgc  30424  reprle  30692  hgt750lemc  30725  hgt750lemd  30726  hgt750lemb  30734  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  iprodgam  31628  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  faclim  31632  iprodfac  31633  knoppndvlem17  32519  poimirlem29  33438  heiborlem3  33612  heiborlem5  33614  heiborlem6  33615  heiborlem7  33616  heiborlem8  33617  heibor  33620  rrndstprj2  33630  rrncmslem  33631  rrnequiv  33634  irrapxlem5  37390  pell14qrgapw  37440  pellqrexplicit  37441  pellqrex  37443  pellfundge  37446  pellfundgt1  37447  jm3.1lem1  37584  jm3.1lem2  37585  hashnzfz2  38520  xralrple4  39589  recnnltrp  39593  rpgtrecnn  39597  fsumnncl  39803  limsup10exlem  40004  stoweidlem31  40248  stoweidlem59  40276  wallispilem3  40284  wallispi  40287  stirlinglem12  40302  stirlinglem15  40305  fourierdlem73  40396  etransclem23  40474  nnfoctbdjlem  40672  ovnsubaddlem1  40784  ovolval5lem1  40866  ovolval5lem2  40867  vonioolem1  40894  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  fmtnoprmfac1lem  41476  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem2  41523  proththd  41531  perfectALTVlem2  41631  pw2m1lepw2m1  42310  logbge0b  42357  logblt1b  42358  logbpw2m1  42361  nnpw2pmod  42377  nnolog2flm1  42384  blennngt2o2  42386  dignnld  42397  digexp  42401  amgmlemALT  42549