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Theorem mamuass 20208
Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b |- B = ( Base ` R )
mamucl.r |- ( ph -> R e. Ring )
mamuass.m |- ( ph -> M e. Fin )
mamuass.n |- ( ph -> N e. Fin )
mamuass.o |- ( ph -> O e. Fin )
mamuass.p |- ( ph -> P e. Fin )
mamuass.x |- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
mamuass.y |- ( ph -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
mamuass.z |- ( ph -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) )
mamuass.f |- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
mamuass.g |- G = ( R maMul <. M , O , P >. )
mamuass.h |- H = ( R maMul <. M , N , P >. )
mamuass.i |- I = ( R maMul <. N , O , P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass |- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) )
Proof of Theorem mamuass
Dummy variables i j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
2 mamucl.r . . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
3 ringcmn 18581 . . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
42, 3syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CMnd )
54adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> R e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7 |- ( ph -> O e. Fin )
76adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> O e. Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. Fin )
98adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> N e. Fin )
102ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> R e. Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
12 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( X e. ( B ^m ( M X. N ) ) -> X : ( M X. N ) --> B )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : ( M X. N ) --> B )
1413ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> X : ( M X. N ) --> B )
15 simplrl 800 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> i e. M )
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> l e. N )
1714, 15, 16fovrnd 6806 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( i X l ) e. B )
1817adantrl 752 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( i X l ) e. B )
19 mamuass.y . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
20 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) -> Y : ( N X. O ) --> B )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : ( N X. O ) --> B )
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> Y : ( N X. O ) --> B )
23 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> l e. N )
24 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> j e. O )
2522, 23, 24fovrnd 6806 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( l Y j ) e. B )
26 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) )
27 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) -> Z : ( O X. P ) --> B )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z : ( O X. P ) --> B )
2928ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> Z : ( O X. P ) --> B )
30 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> j e. O )
31 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> k e. P )
3229, 30, 31fovrnd 6806 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( j Z k ) e. B )
3332adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( j Z k ) e. B )
34 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
351, 34ringcl 18561 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( l Y j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
371, 34ringcl 18561 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X l ) e. B /\ ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) e. B )
3810, 18, 36, 37syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) e. B )
391, 5, 7, 9, 38gsumcom3fi 20206 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsumg ( j e. O |-> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
40 mamuass.f . . . . . . . . . 10 |- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
412ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> R e. Ring )
42 mamuass.m . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Fin )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> M e. Fin )
448ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> N e. Fin )
456ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> O e. Fin )
4611ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
4719ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
48 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> i e. M )
4940, 1, 34, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 30mamufv 20193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( i ( X F Y ) j ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) )
5049oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
51 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
52 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
531, 34ringcl 18561 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X l ) e. B /\ ( l Y j ) e. B ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. B )
5410, 18, 25, 53syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. B )
5554anassrs 680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. B )
56 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) = ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) )
57 ovexd 6680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) e. _V )
58 fvexd 6203 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
5956, 44, 57, 58fsuppmptdm 8286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
601, 51, 52, 34, 41, 44, 32, 55, 59gsummulc1 18606 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
611, 34ringass 18564 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i X l ) e. B /\ ( l Y j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
6210, 18, 25, 33, 61syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ ( j e. O /\ l e. N ) ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
6362anassrs 680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) /\ l e. N ) -> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
6463mpteq2dva 4744 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6564oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6650, 60, 653eqtr2d 2662 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ j e. O ) -> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6766mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. O |-> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
6867oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. O |-> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
69 mamuass.i . . . . . . . . . 10 |- I = ( R maMul <. N , O , P >. )
702ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> R e. Ring )
718ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> N e. Fin )
726ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> O e. Fin )
73 mamuass.p . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Fin )
7473ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> P e. Fin )
7519ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> Y e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
7626ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) )
77 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> k e. P )
7869, 1, 34, 70, 71, 72, 74, 75, 76, 16, 77mamufv 20193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( l ( Y I Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7978oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8036anass1rs 849 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) /\ j e. O ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
81 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
82 ovexd 6680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) /\ j e. O ) -> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. _V )
83 fvexd 6203 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
8481, 72, 82, 83fsuppmptdm 8286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
851, 51, 52, 34, 70, 72, 17, 80, 84gsummulc2 18607 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) = ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8679, 85eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) /\ l e. N ) -> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) = ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8786mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) = ( l e. N |-> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
8887oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( ( l Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
8939, 68, 883eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
90 mamuass.g . . . . 5 |- G = ( R maMul <. M , O , P >. )
912adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> R e. Ring )
9242adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> M e. Fin )
9373adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> P e. Fin )
941, 2, 40, 42, 8, 6, 11, 19mamucl 20207 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X F Y ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
9594adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( X F Y ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
9626adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> Z e. ( B ^m ( O X. P ) ) )
97 simprl 794 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> i e. M )
98 simprr 796 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> k e. P )
9990, 1, 34, 91, 92, 7, 93, 95, 96, 97, 98mamufv 20193 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. O |-> ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
100 mamuass.h . . . . 5 |- H = ( R maMul <. M , N , P >. )
10111adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
1021, 2, 69, 8, 6, 73, 19, 26mamucl 20207 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y I Z ) e. ( B ^m ( N X. P ) ) )
103102adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( Y I Z ) e. ( B ^m ( N X. P ) ) )
104100, 1, 34, 91, 92, 9, 93, 101, 103, 97, 98mamufv 20193 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( i X l ) ( .r ` R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10589, 99, 1043eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. P ) ) -> ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
106105ralrimivva 2971 . 2 |- ( ph -> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1071, 2, 90, 42, 6, 73, 94, 26mamucl 20207 . . . 4 |- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) )
108 elmapi 7879 . . . 4 |- ( ( ( X F Y ) G Z ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) -> ( ( X F Y ) G Z ) : ( M X. P ) --> B )
109 ffn 6045 . . . 4 |- ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M X. P ) --> B -> ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) )
110107, 108, 1093syl 18 . . 3 |- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) )
1111, 2, 100, 42, 8, 73, 11, 102mamucl 20207 . . . 4 |- ( ph -> ( X H ( Y I Z ) ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) )
112 elmapi 7879 . . . 4 |- ( ( X H ( Y I Z ) ) e. ( B ^m ( M X. P ) ) -> ( X H ( Y I Z ) ) : ( M X. P ) --> B )
113 ffn 6045 . . . 4 |- ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M X. P ) --> B -> ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) )
114111, 112, 1133syl 18 . . 3 |- ( ph -> ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) )
115 eqfnov2 6767 . . 3 |- ( ( ( ( X F Y ) G Z ) Fn ( M X. P ) /\ ( X H ( Y I Z ) ) Fn ( M X. P ) ) -> ( ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
116110, 114, 115syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. P ( i ( ( X F Y ) G Z ) k ) = ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
117106, 116mpbird 247 1 |- ( ph -> ( ( X F Y ) G Z ) = ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   maMul cmmul 20189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-mamu 20190
This theorem is referenced by:  matring  20249
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