Theorem mamudi 20209

Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	|- B = ( Base ` R )
mamucl.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mamudi.f	|- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
mamudi.m	|- ( ph -> M e. Fin )
mamudi.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mamudi.o	|- ( ph -> O e. Fin )
mamudi.p	|- .+ = ( +g ` R )
mamudi.x	|- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
mamudi.y	|- ( ph -> Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
mamudi.z	|- ( ph -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mamudi	|- ( ph -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) = ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
2		mamudi.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
3		mamucl.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
4		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CMnd )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> R e. CMnd )
7		mamudi.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. Fin )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> N e. Fin )
9	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
10		mamudi.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
11		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( B ^m ( M X. N ) ) -> X : ( M X. N ) --> B )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : ( M X. N ) --> B )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> X : ( M X. N ) --> B )
14		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> i e. M )
15		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> j e. N )
16	13, 14, 15	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( i X j ) e. B )
17		mamudi.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
18		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) -> Z : ( N X. O ) --> B )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z : ( N X. O ) --> B )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Z : ( N X. O ) --> B )
21		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> k e. O )
22	20, 15, 21	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( j Z k ) e. B )
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
24	1, 23	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) -> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
25	9, 16, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
26		mamudi.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
27		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) -> Y : ( M X. N ) --> B )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y : ( M X. N ) --> B )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Y : ( M X. N ) --> B )
30	29, 14, 15	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( i Y j ) e. B )
31	1, 23	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i Y j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) -> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
32	9, 30, 22, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) e. B )
33		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
34		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
35	1, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34	gsummptfidmadd2 18326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) oF .+ ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
36	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
37		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X : ( M X. N ) --> B -> X Fn ( M X. N ) )
38	36, 11, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> X Fn ( M X. N ) )
39	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
40		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y : ( M X. N ) --> B -> Y Fn ( M X. N ) )
41	39, 27, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Y Fn ( M X. N ) )
42		mamudi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. Fin )
43		xpfi 8231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( M X. N ) e. Fin )
44	42, 7, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M X. N ) e. Fin )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( M X. N ) e. Fin )
46		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. M /\ j e. N ) -> <. i , j >. e. ( M X. N ) )
47	46	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. M /\ k e. O ) /\ j e. N ) -> <. i , j >. e. ( M X. N ) )
48	47	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> <. i , j >. e. ( M X. N ) )
49		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X Fn ( M X. N ) /\ Y Fn ( M X. N ) ) /\ ( ( M X. N ) e. Fin /\ <. i , j >. e. ( M X. N ) ) ) -> ( ( X oF .+ Y ) ` <. i , j >. ) = ( ( X ` <. i , j >. ) .+ ( Y ` <. i , j >. ) ) )
50	38, 41, 45, 48, 49	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( X oF .+ Y ) ` <. i , j >. ) = ( ( X ` <. i , j >. ) .+ ( Y ` <. i , j >. ) ) )
51		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( i ( X oF .+ Y ) j ) = ( ( X oF .+ Y ) ` <. i , j >. )
52		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i X j ) = ( X ` <. i , j >. )
53		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i Y j ) = ( Y ` <. i , j >. )
54	52, 53	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X j ) .+ ( i Y j ) ) = ( ( X ` <. i , j >. ) .+ ( Y ` <. i , j >. ) )
55	50, 51, 54	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( i ( X oF .+ Y ) j ) = ( ( i X j ) .+ ( i Y j ) ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( ( i X j ) .+ ( i Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) )
57	1, 2, 23	ringdir 18567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i X j ) e. B /\ ( i Y j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) ) -> ( ( ( i X j ) .+ ( i Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) .+ ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
58	9, 16, 30, 22, 57	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( ( i X j ) .+ ( i Y j ) ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) .+ ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) = ( ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) .+ ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) .+ ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
61		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
62		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) )
63	8, 25, 32, 61, 62	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) oF .+ ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) .+ ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
64	60, 63	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) = ( ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) oF .+ ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( R gsumg ( ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) oF .+ ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
66		mamudi.f	. . . . . . 7 |- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
67	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> R e. Ring )
68	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> M e. Fin )
69		mamudi.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O e. Fin )
70	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> O e. Fin )
71	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
72	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
73		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> i e. M )
74		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> k e. O )
75	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74	mamufv 20193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( X F Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
76	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
77	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74	mamufv 20193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( Y F Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
78	75, 77	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( i ( X F Z ) k ) .+ ( i ( Y F Z ) k ) ) = ( ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i Y j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
79	35, 65, 78	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) = ( ( i ( X F Z ) k ) .+ ( i ( Y F Z ) k ) ) )
80		ringmnd 18556	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
81	3, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Mnd )
82	1, 2	mndvcl 20197	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. ( B ^m ( M X. N ) ) /\ Y e. ( B ^m ( M X. N ) ) ) -> ( X oF .+ Y ) e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
83	81, 10, 26, 82	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X oF .+ Y ) e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
84	83	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( X oF .+ Y ) e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
85	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74	mamufv 20193	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( ( X oF .+ Y ) F Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X oF .+ Y ) j ) ( .r ` R ) ( j Z k ) ) ) ) )
86	1, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17	mamucl 20207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
87		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( X F Z ) : ( M X. O ) --> B )
88		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( X F Z ) : ( M X. O ) --> B -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
90	89	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
91	1, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17	mamucl 20207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
92		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( Y F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( Y F Z ) : ( M X. O ) --> B )
93		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( Y F Z ) : ( M X. O ) --> B -> ( Y F Z ) Fn ( M X. O ) )
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y F Z ) Fn ( M X. O ) )
95	94	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( Y F Z ) Fn ( M X. O ) )
96		xpfi 8231	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Fin /\ O e. Fin ) -> ( M X. O ) e. Fin )
97	42, 69, 96	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M X. O ) e. Fin )
98	97	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( M X. O ) e. Fin )
99		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( i e. M /\ k e. O ) -> <. i , k >. e. ( M X. O ) )
100	99	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> <. i , k >. e. ( M X. O ) )
101		fnfvof 6911	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X F Z ) Fn ( M X. O ) /\ ( Y F Z ) Fn ( M X. O ) ) /\ ( ( M X. O ) e. Fin /\ <. i , k >. e. ( M X. O ) ) ) -> ( ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) ` <. i , k >. ) = ( ( ( X F Z ) ` <. i , k >. ) .+ ( ( Y F Z ) ` <. i , k >. ) ) )
102	90, 95, 98, 100, 101	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) ` <. i , k >. ) = ( ( ( X F Z ) ` <. i , k >. ) .+ ( ( Y F Z ) ` <. i , k >. ) ) )
103		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) = ( ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) ` <. i , k >. )
104		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( i ( X F Z ) k ) = ( ( X F Z ) ` <. i , k >. )
105		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( i ( Y F Z ) k ) = ( ( Y F Z ) ` <. i , k >. )
106	104, 105	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( i ( X F Z ) k ) .+ ( i ( Y F Z ) k ) ) = ( ( ( X F Z ) ` <. i , k >. ) .+ ( ( Y F Z ) ` <. i , k >. ) )
107	102, 103, 106	3eqtr4g 2681	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) = ( ( i ( X F Z ) k ) .+ ( i ( Y F Z ) k ) ) )
108	79, 85, 107	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( ( X oF .+ Y ) F Z ) k ) = ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) )
109	108	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. i e. M A. k e. O ( i ( ( X oF .+ Y ) F Z ) k ) = ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) )
110	1, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17	mamucl 20207	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
111		elmapi 7879	. . . 4 |- ( ( ( X oF .+ Y ) F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) : ( M X. O ) --> B )
112		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( X oF .+ Y ) F Z ) : ( M X. O ) --> B -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) Fn ( M X. O ) )
113	110, 111, 112	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) Fn ( M X. O ) )
114	1, 2	mndvcl 20197	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) /\ ( Y F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) ) -> ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
115	81, 86, 91, 114	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
116		elmapi 7879	. . . 4 |- ( ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) : ( M X. O ) --> B )
117		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) : ( M X. O ) --> B -> ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) Fn ( M X. O ) )
118	115, 116, 117	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) Fn ( M X. O ) )
119		eqfnov2 6767	. . 3 |- ( ( ( ( X oF .+ Y ) F Z ) Fn ( M X. O ) /\ ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) Fn ( M X. O ) ) -> ( ( ( X oF .+ Y ) F Z ) = ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. O ( i ( ( X oF .+ Y ) F Z ) k ) = ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) ) )
120	113, 118, 119	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( ( X oF .+ Y ) F Z ) = ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. O ( i ( ( X oF .+ Y ) F Z ) k ) = ( i ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) k ) ) )
121	109, 120	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( X oF .+ Y ) F Z ) = ( ( X F Z ) oF .+ ( Y F Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   maMul cmmul 20189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-mamu 20190

This theorem is referenced by:  matring  20249  mdetmul  20429