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Theorem mdetmul 20429
Description: Multiplicativity of the determinant function: the determinant of a matrix product of square matrices equals the product of their determinants. Proposition 4.15 in [Lang] p. 517. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetmul.a |- A = ( N Mat R )
mdetmul.b |- B = ( Base ` A )
mdetmul.d |- D = ( N maDet R )
mdetmul.t1 |- .x. = ( .r ` R )
mdetmul.t2 |- .xb = ( .r ` A )
Assertion
Ref Expression
mdetmul |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( D ` ( F .xb G ) ) = ( ( D ` F ) .x. ( D ` G ) ) )
Proof of Theorem mdetmul
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetmul.a . . 3 |- A = ( N Mat R )
2 mdetmul.b . . 3 |- B = ( Base ` A )
3 eqid 2622 . . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5 eqid 2622 . . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
6 eqid 2622 . . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
7 mdetmul.t1 . . 3 |- .x. = ( .r ` R )
81, 2matrcl 20218 . . . . 5 |- ( F e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
98simpld 475 . . . 4 |- ( F e. B -> N e. Fin )
1093ad2ant2 1083 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> N e. Fin )
11 crngring 18558 . . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
12113ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> R e. Ring )
13 mdetmul.d . . . . . . . 8 |- D = ( N maDet R )
1413, 1, 2, 3mdetf 20401 . . . . . . 7 |- ( R e. CRing -> D : B --> ( Base ` R ) )
15143ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> D : B --> ( Base ` R ) )
1615adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> D : B --> ( Base ` R ) )
171matring 20249 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
1810, 12, 17syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> A e. Ring )
1918adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> A e. Ring )
20 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> a e. B )
21 simpl3 1066 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> G e. B )
22 mdetmul.t2 . . . . . . 7 |- .xb = ( .r ` A )
232, 22ringcl 18561 . . . . . 6 |- ( ( A e. Ring /\ a e. B /\ G e. B ) -> ( a .xb G ) e. B )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> ( a .xb G ) e. B )
2516, 24ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ a e. B ) -> ( D ` ( a .xb G ) ) e. ( Base ` R ) )
26 eqid 2622 . . . 4 |- ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) = ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) )
2725, 26fmptd 6385 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) : B --> ( Base ` R ) )
28 simp21 1094 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> b e. B )
29 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( a .xb G ) = ( b .xb G ) )
3029fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( D ` ( a .xb G ) ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
31 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( D ` ( b .xb G ) ) e. _V
3230, 26, 31fvmpt 6282 . . . . . . 7 |- ( b e. B -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
3328, 32syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
34 simp11 1091 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> R e. CRing )
3518adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> A e. Ring )
36 simpr1 1067 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> b e. B )
37 simpl3 1066 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> G e. B )
382, 22ringcl 18561 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Ring /\ b e. B /\ G e. B ) -> ( b .xb G ) e. B )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
40393adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
41 simp22 1095 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c e. N )
42 simp23 1096 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> d e. N )
43 simp3l 1089 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c =/= d )
44 simpl3r 1117 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) /\ a e. N ) -> A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) )
45 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- N = N
46 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c b e ) = ( d b e ) -> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) = ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) )
4746ralimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) -> A. e e. N ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) = ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) )
48 mpteq12 4736 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = N /\ A. e e. N ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) = ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) -> ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) = ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) )
4945, 47, 48sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) -> ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) = ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) )
5049oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) -> ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
5144, 50syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) /\ a e. N ) -> ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
52 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> R e. CRing )
53 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
541, 53matmulr 20244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
5554, 22syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = .xb )
5610, 52, 55syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = .xb )
5756ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = .xb )
5857oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( b .xb G ) )
5958oveqd 6667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( c ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) a ) = ( c ( b .xb G ) a ) )
60 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> R e. CRing )
6110ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> N e. Fin )
62 simplr1 1103 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> b e. B )
631, 3, 2matbas2i 20228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. B -> b e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> b e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
651, 3, 2matbas2i 20228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. B -> G e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
66653ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> G e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
6766ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> G e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
68 simplr2 1104 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> c e. N )
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> a e. N )
7053, 3, 7, 60, 61, 61, 61, 64, 67, 68, 69mamufv 20193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( c ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
7159, 70eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( c ( b .xb G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
72713adantl3 1219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) /\ a e. N ) -> ( c ( b .xb G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( c b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
7358oveqd 6667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( d ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) a ) = ( d ( b .xb G ) a ) )
74 simplr3 1105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> d e. N )
7553, 3, 7, 60, 61, 61, 61, 64, 67, 74, 69mamufv 20193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( d ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
7673, 75eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) /\ a e. N ) -> ( d ( b .xb G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
77763adantl3 1219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) /\ a e. N ) -> ( d ( b .xb G ) a ) = ( R gsumg ( e e. N |-> ( ( d b e ) .x. ( e G a ) ) ) ) )
7851, 72, 773eqtr4d 2666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) /\ a e. N ) -> ( c ( b .xb G ) a ) = ( d ( b .xb G ) a ) )
7978ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> A. a e. N ( c ( b .xb G ) a ) = ( d ( b .xb G ) a ) )
8013, 1, 2, 4, 34, 40, 41, 42, 43, 79mdetralt 20414 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( D ` ( b .xb G ) ) = ( 0g ` R ) )
8133, 80eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
82813expia 1267 . . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
8382ralrimivvva 2972 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> A. b e. B A. c e. N A. d e. N ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
84 simp11 1091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
8518adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> A e. Ring )
86 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
87 simpl3 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> G e. B )
8885, 86, 87, 38syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
89883adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
90 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. B )
912, 22ringcl 18561 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Ring /\ c e. B /\ G e. B ) -> ( c .xb G ) e. B )
9285, 90, 87, 91syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .xb G ) e. B )
93923adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( c .xb G ) e. B )
94 simprrl 804 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
952, 22ringcl 18561 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Ring /\ d e. B /\ G e. B ) -> ( d .xb G ) e. B )
9685, 94, 87, 95syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d .xb G ) e. B )
97963adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( d .xb G ) e. B )
98 simp2rr 1131 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
99 simp31 1097 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
10099oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
10112adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
102 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R maMul <. { e } , N , N >. ) = ( R maMul <. { e } , N , N >. )
103 snfi 8038 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { e } e. Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> { e } e. Fin )
10510adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> N e. Fin )
1061, 3, 2matbas2i 20228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. B -> c e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
10790, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
108 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> e e. N )
109108snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> { e } C_ N )
110 xpss1 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { e } C_ N -> ( { e } X. N ) C_ ( N X. N ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( { e } X. N ) C_ ( N X. N ) )
112 elmapssres 7882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) /\ ( { e } X. N ) C_ ( N X. N ) ) -> ( c |` ( { e } X. N ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( { e } X. N ) ) )
113107, 111, 112syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c |` ( { e } X. N ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( { e } X. N ) ) )
1141, 3, 2matbas2i 20228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. B -> d e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
11594, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
116 elmapssres 7882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( d e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) /\ ( { e } X. N ) C_ ( N X. N ) ) -> ( d |` ( { e } X. N ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( { e } X. N ) ) )
117115, 111, 116syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d |` ( { e } X. N ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( { e } X. N ) ) )
11866adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> G e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
1193, 101, 102, 104, 105, 105, 6, 113, 117, 118mamudi 20209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) oF ( +g ` R ) ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
1201193adant3 1081 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) oF ( +g ` R ) ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
121100, 120eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) oF ( +g ` R ) ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
12256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = .xb )
123122oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( b .xb G ) )
124123reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) )
125 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. CRing )
12686, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
12753, 102, 3, 125, 105, 105, 105, 109, 126, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
128124, 127eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
1291283adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
130122oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( c .xb G ) )
131130reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) )
13253, 102, 3, 125, 105, 105, 105, 109, 107, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
133131, 132eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
134122oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( d .xb G ) )
135134reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) )
13653, 102, 3, 125, 105, 105, 105, 109, 115, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
137135, 136eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
138133, 137oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( c .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) oF ( +g ` R ) ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
1391383adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( c .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) = ( ( ( c |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) oF ( +g ` R ) ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
140121, 129, 1393eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( c .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) )
141 simp32 1098 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
142141oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) = ( ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
143123reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
144 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) = ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. )
145 difssd 3738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( N \ { e } ) C_ N )
14653, 144, 3, 125, 105, 105, 105, 145, 126, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
147143, 146eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
1481473adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
149130reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( c .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
15053, 144, 3, 125, 105, 105, 105, 145, 107, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
151149, 150eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
1521513adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( c .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
153142, 148, 1523eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( c .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
154 simp33 1099 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
155154oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
156134reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
15753, 144, 3, 125, 105, 105, 105, 145, 115, 118mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
158156, 157eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
1591583adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
160155, 148, 1593eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
16113, 1, 2, 6, 84, 89, 93, 97, 98, 140, 153, 160mdetrlin 20408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` ( b .xb G ) ) = ( ( D ` ( c .xb G ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
16286, 32syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
1631623adant3 1081 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
164 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a .xb G ) = ( c .xb G ) )
165164fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( D ` ( a .xb G ) ) = ( D ` ( c .xb G ) ) )
166 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( D ` ( c .xb G ) ) e. _V
167165, 26, 166fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( c e. B -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) = ( D ` ( c .xb G ) ) )
16890, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) = ( D ` ( c .xb G ) ) )
169 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = d -> ( a .xb G ) = ( d .xb G ) )
170169fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( D ` ( a .xb G ) ) = ( D ` ( d .xb G ) ) )
171 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( D ` ( d .xb G ) ) e. _V
172170, 26, 171fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( d e. B -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) = ( D ` ( d .xb G ) ) )
17394, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) = ( D ` ( d .xb G ) ) )
174168, 173oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) = ( ( D ` ( c .xb G ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
1751743adant3 1081 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) = ( ( D ` ( c .xb G ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
176161, 163, 1753eqtr4d 2666 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) )
1771763expia 1267 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
178177anassrs 680 . . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
179178ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
180179ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> A. b e. B A. c e. B A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF ( +g ` R ) ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` c ) ( +g ` R ) ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
181 simp11 1091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
18218adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> A e. Ring )
183 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
184 simpl3 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> G e. B )
185182, 183, 184, 38syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
1861853adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b .xb G ) e. B )
187 simp2lr 1129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> c e. ( Base ` R ) )
188 simprrl 804 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
189182, 188, 184, 95syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d .xb G ) e. B )
1901893adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( d .xb G ) e. B )
191 simp2rr 1131 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
192 simp3l 1089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
193192oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
19456adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = .xb )
195194oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( b .xb G ) )
196195reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) )
197 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. CRing )
19810adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> N e. Fin )
199 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> e e. N )
200199snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> { e } C_ N )
201183, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
20266adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> G e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
20353, 102, 3, 197, 198, 198, 198, 200, 201, 202mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
204196, 203eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
2052043adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( b |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
206194oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) = ( d .xb G ) )
207206reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) )
208188, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
20953, 102, 3, 197, 198, 198, 198, 200, 208, 202mamures 20196 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
210207, 209eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
211210oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
21212adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
213103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> { e } e. Fin )
214 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. ( Base ` R ) )
215200, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( { e } X. N ) C_ ( N X. N ) )
216208, 215, 116syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( d |` ( { e } X. N ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( { e } X. N ) ) )
2173, 212, 102, 213, 198, 198, 7, 214, 216, 202mamuvs1 20211 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d |` ( { e } X. N ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) ) )
218211, 217eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) = ( ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
2192183adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) = ( ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ( R maMul <. { e } , N , N >. ) G ) )
220193, 205, 2193eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( ( d .xb G ) |` ( { e } X. N ) ) ) )
221 simp3r 1090 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
222221oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
223195reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
224 difssd 3738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( N \ { e } ) C_ N )
22553, 144, 3, 197, 198, 198, 198, 224, 201, 202mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
226223, 225eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
2272263adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
228206reseq1d 5395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
22953, 144, 3, 197, 198, 198, 198, 224, 208, 202mamures 20196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d ( R maMul <. N , N , N >. ) G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
230228, 229eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
2312303adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ( R maMul <. ( N \ { e } ) , N , N >. ) G ) )
232222, 227, 2313eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( b .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( ( d .xb G ) |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
23313, 1, 2, 3, 7, 181, 186, 187, 190, 191, 220, 232mdetrsca 20409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` ( b .xb G ) ) = ( c .x. ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
234 simp2ll 1128 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> b e. B )
235234, 32syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( D ` ( b .xb G ) ) )
236 simp2rl 1130 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> d e. B )
237172oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( d e. B -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) = ( c .x. ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
238236, 237syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) = ( c .x. ( D ` ( d .xb G ) ) ) )
239233, 235, 2383eqtr4d 2666 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) )
2402393expia 1267 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
241240anassrs 680 . . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
242241ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. ( Base ` R ) ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
243242ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> A. b e. B A. c e. ( Base ` R ) A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` d ) ) ) )
244 simp2 1062 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> F e. B )
2451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 27, 83, 180, 243, 13, 52, 244mdetuni0 20427 . 2 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` F ) = ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) .x. ( D ` F ) ) )
246 oveq1 6657 . . . . 5 |- ( a = F -> ( a .xb G ) = ( F .xb G ) )
247246fveq2d 6195 . . . 4 |- ( a = F -> ( D ` ( a .xb G ) ) = ( D ` ( F .xb G ) ) )
248 fvex 6201 . . . 4 |- ( D ` ( F .xb G ) ) e. _V
249247, 26, 248fvmpt 6282 . . 3 |- ( F e. B -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` F ) = ( D ` ( F .xb G ) ) )
2502493ad2ant2 1083 . 2 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` F ) = ( D ` ( F .xb G ) ) )
251 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
2522, 251ringidcl 18568 . . . . . 6 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
253 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( a .xb G ) = ( ( 1r ` A ) .xb G ) )
254253fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( D ` ( a .xb G ) ) = ( D ` ( ( 1r ` A ) .xb G ) ) )
255 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( D ` ( ( 1r ` A ) .xb G ) ) e. _V
256254, 26, 255fvmpt 6282 . . . . . 6 |- ( ( 1r ` A ) e. B -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) = ( D ` ( ( 1r ` A ) .xb G ) ) )
25718, 252, 2563syl 18 . . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) = ( D ` ( ( 1r ` A ) .xb G ) ) )
258 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> G e. B )
2592, 22, 251ringlidm 18571 . . . . . . 7 |- ( ( A e. Ring /\ G e. B ) -> ( ( 1r ` A ) .xb G ) = G )
26018, 258, 259syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( 1r ` A ) .xb G ) = G )
261260fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( D ` ( ( 1r ` A ) .xb G ) ) = ( D ` G ) )
262257, 261eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) = ( D ` G ) )
263262oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( D ` G ) .x. ( D ` F ) ) )
26415, 258ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( D ` G ) e. ( Base ` R ) )
26515, 244ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( D ` F ) e. ( Base ` R ) )
2663, 7crngcom 18562 . . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ ( D ` G ) e. ( Base ` R ) /\ ( D ` F ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( D ` G ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( D ` F ) .x. ( D ` G ) ) )
26752, 264, 265, 266syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( D ` G ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( D ` F ) .x. ( D ` G ) ) )
268263, 267eqtrd 2656 . 2 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( ( a e. B |-> ( D ` ( a .xb G ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( D ` F ) .x. ( D ` G ) ) )
269245, 250, 2683eqtr3d 2664 1 |- ( ( R e. CRing /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( D ` ( F .xb G ) ) = ( ( D ` F ) .x. ( D ` G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mdet 20391
This theorem is referenced by:  matunit  20484  cramerimplem3  20491  matunitlindflem2  33406
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