Theorem minvecolem4c 27735

Description: Lemma for minveco 27740. The infimum of the distances to A is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4c	|- ( ph -> S e. RR )

Distinct variable groups:   y, n, F   n, J, y   y, M   y, N   ph, n, y   S, n, y   A, n, y   D, n, y   y, U   y, W   n, X   n, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4c

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.s	. 2 |- S = inf ( R , RR , < )
2		minveco.x	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
3		minveco.m	. . . . 5 |- M = ( -v ` U )
4		minveco.n	. . . . 5 |- N = ( normCV ` U )
5		minveco.y	. . . . 5 |- Y = ( BaseSet ` W )
6		minveco.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
7		minveco.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
8		minveco.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
9		minveco.d	. . . . 5 |- D = ( IndMet ` U )
10		minveco.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
11		minveco.r	. . . . 5 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem1 27730	. . . 4 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
13	12	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> R C_ RR )
14	12	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> R =/= (/) )
15		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
16	12	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
17		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
19	18	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
20	15, 16, 19	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
21		infrecl 11005	. . 3 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
22	13, 14, 20, 21	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
23	1, 22	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> S e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ^cexp 12860   MetOpencmopn 19736   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem4  27736