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Theorem pmatcollpw2lem 20582
Description: Lemma for pmatcollpw2 20583. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p |- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw1.c |- C = ( N Mat P )
pmatcollpw1.b |- B = ( Base ` C )
pmatcollpw1.m |- .X. = ( .s ` P )
pmatcollpw1.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw1.x |- X = (var1 ` R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2lem |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) finSupp ( 0g ` C ) )
Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, X   .X. , n   .^ , n   P, n   B, i, j   i, M, j   i, N, j   P, i, j, n   R, i, j   i, X, j   .X. , i, j   .^ , i, j
Allowed substitution hints:   C( i, j, n)
Proof of Theorem pmatcollpw2lem
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> N e. Fin )
2 mpt2exga 7246 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) e. _V )
31, 1, 2syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) e. _V )
43ralrimivw 2967 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> A. n e. NN0 ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) e. _V )
5 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) )
65fnmpt 6020 . . . . 5 |- ( A. n e. NN0 ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) e. _V -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) Fn NN0 )
74, 6syl 17 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) Fn NN0 )
8 nn0ex 11298 . . . . 5 |- NN0 e. _V
98a1i 11 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> NN0 e. _V )
10 fvexd 6203 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( 0g ` C ) e. _V )
11 suppvalfn 7302 . . . 4 |- ( ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ ( 0g ` C ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) supp ( 0g ` C ) ) = { x e. NN0 | ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) } )
127, 9, 10, 11syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) supp ( 0g ` C ) ) = { x e. NN0 | ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) } )
13 pmatcollpw1.p . . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
14 pmatcollpw1.c . . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
15 pmatcollpw1.b . . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` C )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
1713, 14, 15, 16pmatcoe1fsupp 20506 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) )
18 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( ( 0g ` R ) .X. ( x .^ X ) ) )
19 pmatcollpw1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- .X. = ( .s ` P )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> .X. = ( .s ` P ) )
2113ply1sca 19623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
22213ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> R = (Scalar ` P ) )
2322fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
24 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( x .^ X ) = ( x .^ X ) )
2520, 23, 24oveq123d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. ( x .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) )
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` R ) .X. ( x .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) )
2722eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> (Scalar ` P ) = R )
2827ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> (Scalar ` P ) = R )
2928fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` R ) )
3029oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) )
31 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> R e. Ring )
32 pmatcollpw1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- X = (var1 ` R )
33 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
34 pmatcollpw1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
35 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
3613, 32, 33, 34, 35ply1moncl 19641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. Ring /\ x e. NN0 ) -> ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) )
37363ad2antl2 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) )
3831, 37jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( R e. Ring /\ ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
41 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .s ` P ) = ( .s ` P )
4213, 35, 41, 16ply10s0 19626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Ring /\ ( x .^ X ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` R ) ( .s ` P ) ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
4426, 30, 433eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` R ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
4518, 44sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
4645ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
4746anasss 679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) -> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
4847ralimdvva 2964 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
4948imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) -> ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
5049ralimdva 2962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) -> A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
5150reximdv 3016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
5217, 51mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
53 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> M e. B )
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
5531, 53, 543jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( R e. Ring /\ M e. B /\ x e. NN0 ) )
5613, 14, 15decpmate 20571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ M e. B /\ x e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( M decompPMat x ) j ) = ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) )
5755, 56sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( M decompPMat x ) j ) = ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) )
5857oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) )
5958eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) <-> ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
60592ralbidva 2988 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) <-> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
6160imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
6261ralbidva 2985 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
6362rexbidv 3052 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( (coe1 ` ( i M j ) ) ` x ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
6452, 63mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
65 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- N = N
6665biantrur 527 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
6765biantrur 527 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) <-> ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
6867bicomi 214 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
6968ralbii 2980 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
7066, 69bitr3i 266 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
7271imbi2d 330 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) <-> ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
7372rexralbidv 3058 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) <-> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> A. i e. N A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
7464, 73mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) )
75 mpt2eq123 6714 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) )
7675imim2i 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) -> ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) )
7776ralimi 2952 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN0 ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) -> A. x e. NN0 ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) )
7877reximi 3011 . . . . . . 7 |- ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( N = N /\ A. i e. N ( N = N /\ A. j e. N ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) )
7974, 78syl 17 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) )
80 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) )
81 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( M decompPMat n ) = ( M decompPMat x ) )
8281oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( i ( M decompPMat n ) j ) = ( i ( M decompPMat x ) j ) )
83 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( n .^ X ) = ( x .^ X ) )
8482, 83oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) = ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) )
8584mpt2eq3dv 6721 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) )
8685adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) /\ n = x ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) )
87 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. Fin -> N e. Fin )
8887ancri 575 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. Fin -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
89883ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
91 mpt2exga 7246 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) e. _V )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) e. _V )
9380, 86, 54, 92fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) )
9413ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
9594anim2i 593 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
96953adant3 1081 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
9796adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
98 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
9914, 98mat0op 20225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> ( 0g ` C ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) )
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( 0g ` C ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) )
10193, 100eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) <-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) )
102101imbi2d 330 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) <-> ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) ) )
103102ralbidva 2985 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( A. x e. NN0 ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) <-> A. x e. NN0 ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) ) )
104103rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) <-> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat x ) j ) .X. ( x .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` P ) ) ) ) )
10579, 104mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) )
106 nne 2798 . . . . . . . 8 |- ( -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) <-> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) )
107106imbi2i 326 . . . . . . 7 |- ( ( y < x -> -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) ) <-> ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) )
108107ralbii 2980 . . . . . 6 |- ( A. x e. NN0 ( y < x -> -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) ) <-> A. x e. NN0 ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) )
109108rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) ) <-> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) = ( 0g ` C ) ) )
110105, 109sylibr 224 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) ) )
111 rabssnn0fi 12785 . . . 4 |- ( { x e. NN0 | ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) } e. Fin <-> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> -. ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) ) )
112110, 111sylibr 224 . . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> { x e. NN0 | ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ` x ) =/= ( 0g ` C ) } e. Fin )
11312, 112eqeltrd 2701 . 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) supp ( 0g ` C ) ) e. Fin )
114 funmpt 5926 . . . 4 |- Fun ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) )
115114a1i 11 . . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> Fun ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) )
1168mptex 6486 . . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) e. _V
117116a1i 11 . . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) e. _V )
118 funisfsupp 8280 . . 3 |- ( ( Fun ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) /\ ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) e. _V /\ ( 0g ` C ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) finSupp ( 0g ` C ) <-> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) supp ( 0g ` C ) ) e. Fin ) )
119115, 117, 10, 118syl3anc 1326 . 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) finSupp ( 0g ` C ) <-> ( ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) supp ( 0g ` C ) ) e. Fin ) )
120113, 119mpbird 247 1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) finSupp ( 0g ` C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   < clt 10074   NN0cn0 11292   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547  coe1cco1 19548   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-decpmat 20568
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