Theorem mulginvcom 17565

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulginvcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulginvcom.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( 0 .x. ( I ` X ) ) )
2		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
3	2	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) ) )
5		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
6		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
9		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
13		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( -u y .x. ( I ` X ) ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( N .x. ( I ` X ) ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( invg ` G )
23	21, 22	grpinvid 17476	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( I ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
26		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
27	26, 22	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
28		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
29	26, 21, 28	mulg0 17546	. . . . . . 7 |- ( ( I ` X ) e. B -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
30	27, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
31	26, 21, 28	mulg0 17546	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` ( 0 .x. X ) ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
34	25, 30, 33	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
37		grpmnd 17429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
39		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. NN0 )
40	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
42	26, 28, 41	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
43	38, 39, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
44		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Grp )
45		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. ZZ )
47	26, 28, 41	mulgaddcom 17564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
48	44, 46, 40, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
49	43, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
51	26, 28, 41	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
52	37, 51	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
54	26, 28	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
55	45, 54	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
56	26, 41, 22	grpinvadd 17493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
57	55, 56	syld3an2 1373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
58	53, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
60	36, 50, 59	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
61	60	3exp1 1283	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( y e. NN0 -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
62	61	com23 86	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
63	62	imp 445	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
64		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
65	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
66	26, 28, 22	mulgneg 17560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
67	65, 66	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
69	26, 28, 22	mulgneg 17560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
71		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
72	70, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( -u y .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
74	68, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
75	74	3exp1 1283	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
76	75	com23 86	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
77	76	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
78	64, 77	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
79	4, 8, 12, 16, 20, 34, 63, 78	zindd 11478	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
80	79	ex 450	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
81	80	com23 86	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
82	81	3imp 1256	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulginvinv  17566