Theorem zindd 11478

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
zindd.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
zindd.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> ta ) )
zindd.4	|- ( x = -u y -> ( ph <-> th ) )
zindd.5	|- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
zindd.6	|- ( ze -> ps )
zindd.7	|- ( ze -> ( y e. NN0 -> ( ch -> ta ) ) )
zindd.8	|- ( ze -> ( y e. NN -> ( ch -> th ) ) )

Assertion

Ref	Expression
zindd	|- ( ze -> ( A e. ZZ -> et ) )

Distinct variable groups:   x, A   ch, x   et, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x   x, y, ze

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   et( y)   A( y)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 11412	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
2		elznn0nn 11391	. . . . . . 7 |- ( -u y e. ZZ <-> ( -u y e. NN0 \/ ( -u y e. RR /\ -u -u y e. NN ) ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . 6 |- ( y e. ZZ -> ( -u y e. NN0 \/ ( -u y e. RR /\ -u -u y e. NN ) ) )
4		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( -u y e. RR /\ -u -u y e. NN ) -> -u -u y e. NN )
5	4	orim2i 540	. . . . . 6 |- ( ( -u y e. NN0 \/ ( -u y e. RR /\ -u -u y e. NN ) ) -> ( -u y e. NN0 \/ -u -u y e. NN ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( y e. ZZ -> ( -u y e. NN0 \/ -u -u y e. NN ) )
7		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
8	7	negnegd 10383	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u -u y = y )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y e. ZZ -> ( -u -u y e. NN <-> y e. NN ) )
10	9	orbi2d 738	. . . . 5 |- ( y e. ZZ -> ( ( -u y e. NN0 \/ -u -u y e. NN ) <-> ( -u y e. NN0 \/ y e. NN ) ) )
11	6, 10	mpbid 222	. . . 4 |- ( y e. ZZ -> ( -u y e. NN0 \/ y e. NN ) )
12		zindd.1	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( ze -> ph ) <-> ( ze -> ps ) ) )
14		zindd.2	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ze -> ph ) <-> ( ze -> ch ) ) )
16		zindd.3	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> ta ) )
17	16	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ze -> ph ) <-> ( ze -> ta ) ) )
18		zindd.4	. . . . . . . 8 |- ( x = -u y -> ( ph <-> th ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( ( ze -> ph ) <-> ( ze -> th ) ) )
20		zindd.6	. . . . . . 7 |- ( ze -> ps )
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 |- ( ze -> ( y e. NN0 -> ( ch -> ta ) ) )
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ze -> ( ch -> ta ) ) )
23	22	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( ze -> ch ) -> ( ze -> ta ) ) )
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 11472	. . . . . 6 |- ( -u y e. NN0 -> ( ze -> th ) )
25	24	com12 32	. . . . 5 |- ( ze -> ( -u y e. NN0 -> th ) )
26	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 11472	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ze -> ch ) )
27		nnnn0 11299	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
28	26, 27	syl11 33	. . . . . 6 |- ( ze -> ( y e. NN -> ch ) )
29		zindd.8	. . . . . 6 |- ( ze -> ( y e. NN -> ( ch -> th ) ) )
30	28, 29	mpdd 43	. . . . 5 |- ( ze -> ( y e. NN -> th ) )
31	25, 30	jaod 395	. . . 4 |- ( ze -> ( ( -u y e. NN0 \/ y e. NN ) -> th ) )
32	11, 31	syl5 34	. . 3 |- ( ze -> ( y e. ZZ -> th ) )
33	32	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ze -> A. y e. ZZ th )
34		znegcl 11412	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
35		negeq 10273	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u x -> -u y = -u -u x )
36		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
37	36	negnegd 10383	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> -u -u x = x )
38	35, 37	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y = -u x ) -> -u y = x )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y = -u x ) -> x = -u y )
40	39, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y = -u x ) -> ( ph <-> th ) )
41	40	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y = -u x ) -> ( th <-> ph ) )
42	34, 41	rspcdv 3312	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( A. y e. ZZ th -> ph ) )
43	42	com12 32	. . 3 |- ( A. y e. ZZ th -> ( x e. ZZ -> ph ) )
44	43	ralrimiv 2965	. 2 |- ( A. y e. ZZ th -> A. x e. ZZ ph )
45		zindd.5	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
46	45	rspccv 3306	. 2 |- ( A. x e. ZZ ph -> ( A e. ZZ -> et ) )
47	33, 44, 46	3syl 18	1 |- ( ze -> ( A e. ZZ -> et ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  efexp  14831  pcexp  15564  mulgaddcom  17564  mulginvcom  17565  mulgneg2  17575  mulgass2  18601  cnfldmulg  19778  clmmulg  22901  xrsmulgzz  29678