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Theorem mulgnndir 17569
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 17289 . . . . . . 7 |- ( G e. SGrp -> G e. Mgm )
213anim1i 1248 . . . . . 6 |- ( ( G e. SGrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) )
3 mulgnndir.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4 mulgnndir.p . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
53, 4mgmcl 17245 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
62, 5syl 17 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
763expb 1266 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
87adantlr 751 . . 3 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
93, 4sgrpass 17290 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
109adantlr 751 . . 3 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
11 simpr2 1068 . . . . . 6 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
12 nnuz 11723 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1311, 12syl6eleq 2711 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
14 simpr1 1067 . . . . . 6 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
1514nnzd 11481 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
16 eluzadd 11716 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1814nncnd 11036 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
1911nncnd 11036 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
2018, 19addcomd 10238 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
21 ax-1cn 9994 . . . . . 6 |- 1 e. CC
22 addcom 10222 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2318, 21, 22sylancl 694 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2423fveq2d 6195 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
2517, 20, 243eltr4d 2716 . . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2614, 12syl6eleq 2711 . . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27 simpr3 1069 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
28 elfznn 12370 . . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> x e. NN )
29 fvconst2g 6467 . . . . 5 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3027, 28, 29syl2an 494 . . . 4 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3127adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> X e. B )
3230, 31eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
338, 10, 25, 26, 32seqsplit 12834 . 2 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
34 nnaddcl 11042 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3514, 11, 34syl2anc 693 . . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
36 mulgnndir.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
37 eqid 2622 . . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
383, 4, 36, 37mulgnn 17547 . . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
3935, 27, 38syl2anc 693 . 2 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
403, 4, 36, 37mulgnn 17547 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
4114, 27, 40syl2anc 693 . . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42 elfznn 12370 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
4327, 42, 29syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
4427adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> X e. B )
45 nnaddcl 11042 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
4642, 14, 45syl2anr 495 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
47 fvconst2g 6467 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4844, 46, 47syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4943, 48eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
5013, 15, 49seqshft2 12827 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
513, 4, 36, 37mulgnn 17547 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
5211, 27, 51syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
5323seqeq1d 12807 . . . . 5 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
5453, 20fveq12d 6197 . . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
5550, 52, 543eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
5641, 55oveq12d 6668 . 2 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
5733, 39, 563eqtr4d 2666 1 |- ( ( G e. SGrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SGrpcsgrp 17283  .gcmg 17540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mulg 17541
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17571  mulgnnass  17576  isarchi3  29741
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