Theorem mulgnndirOLD 17570

Description: Obsolete proof of mulgnndir 17569 as of 29-Aug-2021. Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnndirOLD	|- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnndirOLD

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	mndcl 17301	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
4	3	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
5	4	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	1, 2	mndass 17302	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
7	6	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
9		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
12	11	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
13		eluzadd 11716	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
15	11	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
16	8	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
17	15, 16	addcomd 10238	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
18		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
19		addcom 10222	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
20	15, 18, 19	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
22	14, 17, 21	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
23	11, 9	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
25		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> x e. NN )
26		fvconst2g 6467	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
27	24, 25, 26	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
28	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> X e. B )
29	27, 28	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
30	5, 7, 22, 23, 29	seqsplit 12834	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
31		nnaddcl 11042	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
32	11, 8, 31	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
33		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
34		eqid 2622	. . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
35	1, 2, 33, 34	mulgnn 17547	. . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
36	32, 24, 35	syl2anc 693	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
37	1, 2, 33, 34	mulgnn 17547	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
38	11, 24, 37	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
39		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
40	24, 39, 26	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
41	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> X e. B )
42		nnaddcl 11042	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
43	39, 11, 42	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
44		fvconst2g 6467	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
45	41, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
46	40, 45	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
47	10, 12, 46	seqshft2 12827	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
48	1, 2, 33, 34	mulgnn 17547	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
49	8, 24, 48	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
50	20	seqeq1d 12807	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
51	50, 17	fveq12d 6197	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
52	47, 49, 51	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
53	38, 52	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
54	30, 36, 53	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulgnnassOLD  17577