Theorem mclsppslem 31480

Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 31466.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclspps.d	|- D = (mDV ` T )
mclspps.e	|- E = (mEx ` T )
mclspps.c	|- C = (mCls ` T )
mclspps.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclspps.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclspps.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclspps.j	|- J = (mPPSt ` T )
mclspps.l	|- L = (mSubst ` T )
mclspps.v	|- V = (mVR ` T )
mclspps.h	|- H = (mVH ` T )
mclspps.w	|- W = (mVars ` T )
mclspps.4	|- ( ph -> <. M , O , P >. e. J )
mclspps.5	|- ( ph -> S e. ran L )
mclspps.6	|- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
mclspps.7	|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
mclspps.8	|- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
mclsppslem.9	|- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
mclsppslem.10	|- ( ph -> s e. ran L )
mclsppslem.11	|- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
mclsppslem.12	|- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )

Assertion

Ref	Expression
mclsppslem	|- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Distinct variable groups:   m, o, p, s, v, E   a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z, H   v, V, z   K, a, b, m, o, p, s, v, x, y   T, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   L, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   S, a, b, m, o, p, s, v, x, y   B, a, b, m, o, p, s, v, x, y   W, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   C, a, b, m, o, p, s, v, x, y, z   M, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   m, O, o, p, s, v, w, x, z   ph, a, b, v, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w, m, o, s, p)   B( z, w)   C( w)   D( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   P( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   S( z, w)   E( x, y, z, w, a, b)   J( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   K( z, w)   O( y, a, b)   V( x, y, w, m, o, s, p, a, b)

Proof of Theorem mclsppslem

Dummy variables t u c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsppslem.10	. . . 4 |- ( ph -> s e. ran L )
2		mclspps.l	. . . . 5 |- L = (mSubst ` T )
3		mclspps.e	. . . . 5 |- E = (mEx ` T )
4	2, 3	msubf 31429	. . . 4 |- ( s e. ran L -> s : E --> E )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> s : E --> E )
6		mclspps.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. mFS )
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (mAx ` T ) = (mAx ` T )
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
9	7, 8	maxsta 31451	. . . . . . . 8 |- ( T e. mFS -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
12	11, 8	mstapst 31444	. . . . . . 7 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
13	10, 12	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mPreSt ` T ) )
14		mclsppslem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
15	13, 14	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
16		mclspps.d	. . . . . 6 |- D = (mDV ` T )
17	16, 3, 11	elmpst 31433	. . . . 5 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
18	15, 17	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
19	18	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> p e. E )
20	5, 19	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ph -> ( s ` p ) e. E )
21		fvco3 6275	. . . 4 |- ( ( s : E --> E /\ p e. E ) -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
22	5, 19, 21	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
23		mclspps.c	. . . 4 |- C = (mCls ` T )
24		mclspps.2	. . . 4 |- ( ph -> K C_ D )
25		mclspps.3	. . . 4 |- ( ph -> B C_ E )
26		mclspps.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
27		mclspps.h	. . . 4 |- H = (mVH ` T )
28		mclspps.w	. . . 4 |- W = (mVars ` T )
29		mclspps.5	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ran L )
30	2	msubco 31428	. . . . 5 |- ( ( S e. ran L /\ s e. ran L ) -> ( S o. s ) e. ran L )
31	29, 1, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( S o. s ) e. ran L )
32	2, 3	msubf 31429	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ran L -> S : E --> E )
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : E --> E )
34		fco 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( S : E --> E /\ s : E --> E ) -> ( S o. s ) : E --> E )
35	33, 5, 34	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S o. s ) : E --> E )
36		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( ( S o. s ) : E --> E -> ( S o. s ) Fn E )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S o. s ) Fn E )
38	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( S o. s ) Fn E )
39		mclsppslem.11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
40		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( s : E --> E -> Fun s )
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun s )
42	17	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
43	15, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
44	43	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> o C_ E )
45	26, 3, 27	mvhf 31455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )
46		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H : V --> E -> ran H C_ E )
47	6, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran H C_ E )
48	44, 47	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ E )
49		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s : E --> E -> dom s = E )
50	5, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom s = E )
51	48, 50	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ dom s )
52		funimass3 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun s /\ ( o u. ran H ) C_ dom s ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
53	41, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
54	39, 53	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) )
55		cnvco 5308	. . . . . . . . . 10 |- `' ( S o. s ) = ( `' s o. `' S )
56	55	imaeq1i 5463	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) )
57		imaco 5640	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
58	56, 57	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
59	54, 58	syl6sseqr 3652	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
60	59	unssad 3790	. . . . . 6 |- ( ph -> o C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
61	60	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
62		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( c e. E /\ ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) ) ) )
63	62	simplbda 654	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
64	38, 61, 63	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
65	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( S o. s ) Fn E )
66	59	unssbd 3791	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
68		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( H : V --> E -> H Fn V )
69	6, 45, 68	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn V )
70		fnfvelrn 6356	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn V /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
71	69, 70	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
72	67, 71	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
73		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( ( H ` t ) e. E /\ ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) ) ) )
74	73	simplbda 654	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
75	65, 72, 74	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
76	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> s : E --> E )
77	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : V --> E )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> H : V --> E )
79	18	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( m C_ D /\ `' m = m ) )
80	79	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> m C_ D )
81	26, 16	mdvval 31401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- D = ( ( V X. V ) \ _I )
82		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V X. V ) \ _I ) C_ ( V X. V )
83	81, 82	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D C_ ( V X. V )
84	80, 83	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> m C_ ( V X. V ) )
85	84	ssbrd 4696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( c m d -> c ( V X. V ) d ) )
86	85	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c ( V X. V ) d )
87		brxp 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c ( V X. V ) d <-> ( c e. V /\ d e. V ) )
88	86, 87	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( c e. V /\ d e. V ) )
89	88	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c e. V )
90	78, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` c ) e. E )
91		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` c ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
92	76, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) )
94	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> T e. mFS )
95	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> S e. ran L )
96	76, 90	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` c ) ) e. E )
97	2, 3, 28, 27	msubvrs 31457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` c ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
99	93, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
100	99	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
101		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
102	100, 101	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
103	88	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> d e. V )
104	78, 103	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` d ) e. E )
105		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` d ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
106	76, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
108	76, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` d ) ) e. E )
109	2, 3, 28, 27	msubvrs 31457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` d ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
110	94, 95, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
111	107, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
112	111	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
113		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
114	112, 113	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
115	102, 114	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
116		reeanv 3107	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
117		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ph )
118		brxp 5147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v <-> ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
119		mclsppslem.12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )
120		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- c e. _V
121		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- d e. _V
122		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z m w <-> c m d ) )
123		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` z ) = ( H ` c ) )
125	124	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` z ) ) = ( s ` ( H ` c ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` w ) = ( H ` d ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` w ) ) = ( s ` ( H ` d ) ) )
130	129	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
131	126, 130	xpeq12d 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) = ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
132	131	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M <-> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
133	122, 132	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) <-> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
134	133	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. _V /\ d e. _V ) -> ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
135	120, 121, 134	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
136	119, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
137	136	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M )
138	137	ssbrd 4696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v -> u M v ) )
139	118, 138	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) -> u M v ) )
140	139	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> u M v )
141		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- u e. _V
142		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- v e. _V
143		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( x M y <-> u M v ) )
144		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
145	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` x ) = ( H ` u ) )
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` x ) ) = ( S ` ( H ` u ) ) )
147	146	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
148	147	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) <-> a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
149		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` y ) = ( H ` v ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` y ) ) = ( S ` ( H ` v ) ) )
152	151	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
153	152	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) <-> b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
154	143, 148, 153	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) <-> ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
155	154	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) <-> ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) ) )
156	155	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b ) <-> ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b ) ) )
157		mclspps.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
158	141, 142, 156, 157	vtocl2 3261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b )
159	158	3exp2 1285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u M v -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) -> a K b ) ) ) )
160	159	imp4b 613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u M v ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
161	117, 140, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
162	161	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
163	116, 162	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
164	115, 163	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) -> a K b ) )
165	164	exp4b 632	. . . . 5 |- ( ph -> ( c m d -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) -> a K b ) ) ) )
166	165	3imp2 1282	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c m d /\ a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> a K b )
167	16, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166	mclsax 31466	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) e. ( K C B ) )
168	22, 167	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) )
169		ffn 6045	. . . 4 |- ( S : E --> E -> S Fn E )
170	33, 169	syl 17	. . 3 |- ( ph -> S Fn E )
171		elpreima 6337	. . 3 |- ( S Fn E -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
172	170, 171	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
173	20, 168, 172	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   <.cotp 4185   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  mVRcmvar 31358  mAxcmax 31362  mExcmex 31364  mDVcmdv 31365  mVarscmvrs 31366  mSubstcmsub 31368  mVHcmvh 31369  mPreStcmpst 31370  mStatcmsta 31372  mFScmfs 31373  mClscmcls 31374  mPPStcmpps 31375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-vrmd 17387  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mdv 31385  df-mvrs 31386  df-mrsub 31387  df-msub 31388  df-mvh 31389  df-mpst 31390  df-msr 31391  df-msta 31392  df-mfs 31393  df-mcls 31394

This theorem is referenced by:  mclspps  31481