Theorem mzpcompact2lem 37314

Description: Lemma for mzpcompact2 37315. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mzpcompact2lem.i	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mzpcompact2lem	|- ( A e. (mzPoly ` B ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b, c

Allowed substitution hint:   A( c)

Proof of Theorem mzpcompact2lem

Dummy variables d e f g h i j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1487	. . 3 |- T.
2		0fin 8188	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
3		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
4		mzpconst 37298	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. _V /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) e. (mzPoly ` (/) ) )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( f e. ZZ -> ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) e. (mzPoly ` (/) ) )
6		0ss 3972	. . . . . . . 8 |- (/) C_ B
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( f e. ZZ -> (/) C_ B )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ZZ /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> d e. ( ZZ ^m B ) )
9		elmapssres 7882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) /\ (/) C_ B ) -> ( d |` (/) ) e. ( ZZ ^m (/) ) )
10	8, 6, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ZZ /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( d |` (/) ) e. ( ZZ ^m (/) ) )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
12	11	fvconst2 6469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d |` (/) ) e. ( ZZ ^m (/) ) -> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) = f )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ZZ /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) = f )
14	13	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( f e. ZZ -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> f ) )
15		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> f )
16	14, 15	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( f e. ZZ -> ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) )
17		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) -> ( b ` ( d |` (/) ) ) = ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) )
18	17	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) -> ( ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) <-> ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) -> ( ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) <-> ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) e. (mzPoly ` (/) ) /\ ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( ( ZZ ^m (/) ) X. { f } ) ` ( d |` (/) ) ) ) ) ) -> E. b e. (mzPoly ` (/) ) ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) )
22	5, 7, 16, 21	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( f e. ZZ -> E. b e. (mzPoly ` (/) ) ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> (mzPoly ` a ) = (mzPoly ` (/) ) )
24		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( a C_ B <-> (/) C_ B ) )
25		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( d |` a ) = ( d |` (/) ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( d |` (/) ) ) )
27	26	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) )
28	27	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) )
29	24, 28	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) ) )
30	23, 29	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` (/) ) ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. Fin /\ E. b e. (mzPoly ` (/) ) ( (/) C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` (/) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
32	2, 22, 31	sylancr 695	. . . . 5 |- ( f e. ZZ -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
33	32	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ f e. ZZ ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
34		snfi 8038	. . . . . 6 |- { f } e. Fin
35		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { f } e. _V
36		vsnid 4209	. . . . . . . . 9 |- f e. { f }
37		mzpproj 37300	. . . . . . . . 9 |- ( ( { f } e. _V /\ f e. { f } ) -> ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) e. (mzPoly ` { f } ) )
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) e. (mzPoly ` { f } )
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( f e. B -> ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) e. (mzPoly ` { f } ) )
40		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( f e. B -> { f } C_ B )
41		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( g = d -> ( g ` f ) = ( d ` f ) )
42	41	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( d ` f ) )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> d e. ( ZZ ^m B ) )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> f e. B )
45	44	snssd 4340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> { f } C_ B )
46		elmapssres 7882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) /\ { f } C_ B ) -> ( d |` { f } ) e. ( ZZ ^m { f } ) )
47	43, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( d |` { f } ) e. ( ZZ ^m { f } ) )
48		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( d |` { f } ) -> ( g ` f ) = ( ( d |` { f } ) ` f ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) )
50		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d |` { f } ) ` f ) e. _V
51	48, 49, 50	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d |` { f } ) e. ( ZZ ^m { f } ) -> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) = ( ( d |` { f } ) ` f ) )
52	47, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) = ( ( d |` { f } ) ` f ) )
53		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. { f } -> ( ( d |` { f } ) ` f ) = ( d ` f ) )
54	36, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d |` { f } ) ` f ) = ( d ` f )
55	52, 54	syl6req 2673	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. B /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( d ` f ) = ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) )
56	55	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( f e. B -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( d ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) )
57	42, 56	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( f e. B -> ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) )
58		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) -> ( b ` ( d |` { f } ) ) = ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) )
59	58	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) )
60	59	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) <-> ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) ) )
61	60	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( b = ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) <-> ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) ) ) )
62	61	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) e. (mzPoly ` { f } ) /\ ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( g e. ( ZZ ^m { f } ) |-> ( g ` f ) ) ` ( d |` { f } ) ) ) ) ) -> E. b e. (mzPoly ` { f } ) ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) )
63	39, 40, 57, 62	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( f e. B -> E. b e. (mzPoly ` { f } ) ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = { f } -> (mzPoly ` a ) = (mzPoly ` { f } ) )
65		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = { f } -> ( a C_ B <-> { f } C_ B ) )
66		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { f } -> ( d |` a ) = ( d |` { f } ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = { f } -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( d |` { f } ) ) )
68	67	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { f } -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) )
69	68	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( a = { f } -> ( ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) )
70	65, 69	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = { f } -> ( ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) ) )
71	64, 70	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( a = { f } -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` { f } ) ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) ) )
72	71	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( { f } e. Fin /\ E. b e. (mzPoly ` { f } ) ( { f } C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` { f } ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
73	34, 63, 72	sylancr 695	. . . . 5 |- ( f e. B -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
74	73	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ f e. B ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
75		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> h e. Fin )
76		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> j e. Fin )
77		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h e. Fin /\ j e. Fin ) -> ( h u. j ) e. Fin )
78	75, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( h u. j ) e. Fin )
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- h e. _V
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- j e. _V
81	79, 80	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h u. j ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( h u. j ) e. _V )
83		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- h C_ ( h u. j )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> h C_ ( h u. j ) )
85		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> i e. (mzPoly ` h ) )
86		mzpresrename 37313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h u. j ) e. _V /\ h C_ ( h u. j ) /\ i e. (mzPoly ` h ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( i ` ( l |` h ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
87	82, 84, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( i ` ( l |` h ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
88		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- j C_ ( h u. j )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> j C_ ( h u. j ) )
90		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> k e. (mzPoly ` j ) )
91		mzpresrename 37313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h u. j ) e. _V /\ j C_ ( h u. j ) /\ k e. (mzPoly ` j ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( k ` ( l |` j ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
92	82, 89, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( k ` ( l |` j ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
93		mzpaddmpt 37304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( i ` ( l |` h ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) /\ ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( k ` ( l |` j ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
94	87, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
95		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> h C_ B )
96		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> j C_ B )
97	95, 96	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( h u. j ) C_ B )
98		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ ^m B ) e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( ZZ ^m B ) e. _V )
100		mzpcompact2lem.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- B e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> B e. _V )
102		mzpresrename 37313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. _V /\ h C_ B /\ i e. (mzPoly ` h ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) e. (mzPoly ` B ) )
103	101, 95, 85, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) e. (mzPoly ` B ) )
104		mzpf 37299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) e. (mzPoly ` B ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) : ( ZZ ^m B ) --> ZZ )
105		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) : ( ZZ ^m B ) --> ZZ -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) )
106	103, 104, 105	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) )
107		mzpresrename 37313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. _V /\ j C_ B /\ k e. (mzPoly ` j ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) e. (mzPoly ` B ) )
108	101, 96, 90, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) e. (mzPoly ` B ) )
109		mzpf 37299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) e. (mzPoly ` B ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) : ( ZZ ^m B ) --> ZZ )
110		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) : ( ZZ ^m B ) --> ZZ -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) )
111	108, 109, 110	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) )
112		ofmpteq 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ZZ ^m B ) e. _V /\ ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) /\ ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) + ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
113	99, 106, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) + ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
114		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d e. ( ZZ ^m B ) -> d : B --> ZZ )
115		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( d : B --> ZZ /\ ( h u. j ) C_ B ) -> ( d |` ( h u. j ) ) : ( h u. j ) --> ZZ )
116	114, 97, 115	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( d |` ( h u. j ) ) : ( h u. j ) --> ZZ )
117		zex 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ZZ e. _V
118	117, 81	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( d |` ( h u. j ) ) e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) <-> ( d |` ( h u. j ) ) : ( h u. j ) --> ZZ )
119	116, 118	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( d |` ( h u. j ) ) e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) )
120		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( l |` h ) = ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( i ` ( l |` h ) ) = ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) )
122		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( l |` j ) = ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( k ` ( l |` j ) ) = ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) )
124	121, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) + ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) )
126		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) + ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( d |` ( h u. j ) ) e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) -> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) + ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
128	119, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) + ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
129		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h C_ ( h u. j ) -> ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) = ( d |` h ) )
130	83, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) = ( d |` h )
131	130	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) = ( i ` ( d |` h ) )
132		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j C_ ( h u. j ) -> ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) = ( d |` j ) )
133	88, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) = ( d |` j )
134	133	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) = ( k ` ( d |` j ) )
135	131, 134	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) + ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) = ( ( i ` ( d |` h ) ) + ( k ` ( d |` j ) ) )
136	128, 135	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( i ` ( d |` h ) ) + ( k ` ( d |` j ) ) ) = ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) )
137	136	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) + ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
138	113, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
139		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) )
140	139	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
141	140	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
142	141	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) <-> ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
143	142	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) /\ ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) + ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) -> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
144	94, 97, 138, 143	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
145		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( i ` ( l |` h ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) /\ ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( k ` ( l |` j ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
146	87, 92, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
147		ofmpteq 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ZZ ^m B ) e. _V /\ ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) /\ ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) Fn ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) x. ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
148	99, 106, 111, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) x. ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
149	121, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = ( d |` ( h u. j ) ) -> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) x. ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
150		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) )
151		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) x. ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) e. _V
152	149, 150, 151	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( d |` ( h u. j ) ) e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) -> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) x. ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
153	119, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) x. ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) )
154	131, 134	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` h ) ) x. ( k ` ( ( d |` ( h u. j ) ) |` j ) ) ) = ( ( i ` ( d |` h ) ) x. ( k ` ( d |` j ) ) )
155	153, 154	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) /\ d e. ( ZZ ^m B ) ) -> ( ( i ` ( d |` h ) ) x. ( k ` ( d |` j ) ) ) = ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) )
156	155	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( i ` ( d |` h ) ) x. ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
157	148, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
158		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) = ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) )
159	158	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
160	159	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
161	160	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) -> ( ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) <-> ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
162	161	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) /\ ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( ( l e. ( ZZ ^m ( h u. j ) ) |-> ( ( i ` ( l |` h ) ) x. ( k ` ( l |` j ) ) ) ) ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) -> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
163	146, 97, 157, 162	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
164		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( h u. j ) -> (mzPoly ` a ) = (mzPoly ` ( h u. j ) ) )
165		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( h u. j ) -> ( a C_ B <-> ( h u. j ) C_ B ) )
166		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = ( h u. j ) -> ( d |` a ) = ( d |` ( h u. j ) ) )
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = ( h u. j ) -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) )
168	167	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = ( h u. j ) -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) )
169	168	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( h u. j ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
170	165, 169	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( h u. j ) -> ( ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
171	164, 170	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( h u. j ) -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
172	168	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( h u. j ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) )
173	165, 172	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( h u. j ) -> ( ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
174	164, 173	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( h u. j ) -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) )
175	171, 174	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( h u. j ) -> ( ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) <-> ( E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) ) )
176	175	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( h u. j ) e. Fin /\ ( E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` ( h u. j ) ) ( ( h u. j ) C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` ( h u. j ) ) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
177	78, 144, 163, 176	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ h C_ B ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
178	177	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ j C_ B ) ) -> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
179	178	adantrrr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
180		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) )
181		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) )
182	180, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( f oF + g ) = ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
183	182	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
184	183	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
185	184	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
186	180, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( f oF x. g ) = ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
187	186	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
188	187	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
189	188	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
190	185, 189	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) <-> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) )
191	190	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) <-> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF + ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) oF x. ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) )
192	179, 191	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
193		r19.40 3088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. a e. Fin ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) /\ ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
195	194	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) -> ( ( j e. Fin /\ k e. (mzPoly ` j ) ) -> ( ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) ) )
196	195	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) /\ ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) -> ( E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) )
197	196	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. Fin /\ i e. (mzPoly ` h ) ) -> ( ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) -> ( E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) ) )
198	197	rexlimivv 3036	. . . . . . . 8 |- ( E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) -> ( E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) ) )
199	198	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) /\ E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
200	199	ad2ant2l 782	. . . . . 6 |- ( ( ( f : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( g : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
201	200	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( f : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( g : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) /\ E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
202	201	simpld 475	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( g : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
203	201	simprd 479	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) /\ ( g : ( ZZ ^m B ) --> ZZ /\ E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
204		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( e = ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
205	204	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( e = ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
206	205	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( e = ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( ( ZZ ^m B ) X. { f } ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
207		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( e = ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
208	207	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( e = ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
209	208	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( e = ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( g e. ( ZZ ^m B ) |-> ( g ` f ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
210		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
211	210	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( e = f -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
212	211	2rexbidv 3057	. . . . 5 |- ( e = f -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
213		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = h -> (mzPoly ` a ) = (mzPoly ` h ) )
214		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = h -> ( a C_ B <-> h C_ B ) )
215		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = h -> ( d |` a ) = ( d |` h ) )
216	215	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = h -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( d |` h ) ) )
217	216	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( a = h -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) )
218	217	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( a = h -> ( f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) ) )
219	214, 218	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = h -> ( ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) ) ) )
220	213, 219	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( a = h -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) ) ) )
221		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = i -> ( b ` ( d |` h ) ) = ( i ` ( d |` h ) ) )
222	221	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( b = i -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) )
223	222	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = i -> ( f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) <-> f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) )
224	223	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( b = i -> ( ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) ) <-> ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) )
225	224	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. b e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` h ) ) ) ) <-> E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) )
226	220, 225	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( a = h -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) )
227	226	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) )
228	212, 227	syl6bb 276	. . . 4 |- ( e = f -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. h e. Fin E. i e. (mzPoly ` h ) ( h C_ B /\ f = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( i ` ( d |` h ) ) ) ) ) )
229		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( e = g -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
230	229	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( e = g -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
231	230	2rexbidv 3057	. . . . 5 |- ( e = g -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
232		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = j -> (mzPoly ` a ) = (mzPoly ` j ) )
233		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = j -> ( a C_ B <-> j C_ B ) )
234		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = j -> ( d |` a ) = ( d |` j ) )
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = j -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( d |` j ) ) )
236	235	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( a = j -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) )
237	236	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( a = j -> ( g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) ) )
238	233, 237	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = j -> ( ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) ) ) )
239	232, 238	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( a = j -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. b e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) ) ) )
240		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = k -> ( b ` ( d |` j ) ) = ( k ` ( d |` j ) ) )
241	240	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( b = k -> ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) )
242	241	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = k -> ( g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) <-> g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
243	242	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( b = k -> ( ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) ) <-> ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) )
244	243	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. b e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` j ) ) ) ) <-> E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
245	239, 244	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( a = j -> ( E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) )
246	245	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) )
247	231, 246	syl6bb 276	. . . 4 |- ( e = g -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. j e. Fin E. k e. (mzPoly ` j ) ( j C_ B /\ g = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( k ` ( d |` j ) ) ) ) ) )
248		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( e = ( f oF + g ) -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
249	248	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( e = ( f oF + g ) -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
250	249	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( e = ( f oF + g ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF + g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
251		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( e = ( f oF x. g ) -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
252	251	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( e = ( f oF x. g ) -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
253	252	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( e = ( f oF x. g ) -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ ( f oF x. g ) = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
254		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( e = A -> ( e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
255	254	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( e = A -> ( ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
256	255	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( e = A -> ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ e = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) ) )
257	33, 74, 202, 203, 206, 209, 228, 247, 250, 253, 256	mzpindd 37309	. . 3 |- ( ( T. /\ A e. (mzPoly ` B ) ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
258	1, 257	mpan 706	. 2 |- ( A e. (mzPoly ` B ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) )
259		reseq1 5390	. . . . . . 7 |- ( d = c -> ( d |` a ) = ( c |` a ) )
260	259	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( d = c -> ( b ` ( d |` a ) ) = ( b ` ( c |` a ) ) )
261	260	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) )
262	261	eqeq2i 2634	. . . 4 |- ( A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) <-> A = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) ) )
263	262	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> ( a C_ B /\ A = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) ) ) )
264	263	2rexbii 3042	. 2 |- ( E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( d e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( d |` a ) ) ) ) <-> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) ) ) )
265	258, 264	sylib 208	1 |- ( A e. (mzPoly ` B ) -> E. a e. Fin E. b e. (mzPoly ` a ) ( a C_ B /\ A = ( c e. ( ZZ ^m B ) |-> ( b ` ( c |` a ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolycmzp 37285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287

This theorem is referenced by:  mzpcompact2  37315