Theorem nmblore 27641

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblore.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmblore.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmblore.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmblore.5	|- B = ( U BLnOp W )

Assertion

Ref	Expression
nmblore	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( N ` T ) e. RR )

Proof of Theorem nmblore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmblore.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
2		nmblore.2	. . . 4 |- Y = ( BaseSet ` W )
3		nmblore.5	. . . 4 |- B = ( U BLnOp W )
4	1, 2, 3	blof 27640	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T : X --> Y )
5		nmblore.3	. . . 4 |- N = ( U normOpOLD W )
6	1, 2, 5	nmogtmnf 27625	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> -oo < ( N ` T ) )
7	4, 6	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> -oo < ( N ` T ) )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
9	5, 8, 3	isblo 27637	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. ( U LnOp W ) /\ ( N ` T ) < +oo ) ) )
10	9	simplbda 654	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ T e. B ) -> ( N ` T ) < +oo )
11	10	3impa 1259	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( N ` T ) < +oo )
12	1, 2, 5	nmoxr 27621	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) e. RR* )
13	4, 12	syld3an3 1371	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( N ` T ) e. RR* )
14		xrrebnd 11999	. . 3 |- ( ( N ` T ) e. RR* -> ( ( N ` T ) e. RR <-> ( -oo < ( N ` T ) /\ ( N ` T ) < +oo ) ) )
15	13, 14	syl 17	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( ( N ` T ) e. RR <-> ( -oo < ( N ` T ) /\ ( N ` T ) < +oo ) ) )
16	7, 11, 15	mpbir2and 957	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( N ` T ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601

This theorem is referenced by:  nmblolbii  27654  isblo3i  27656  blocni  27660  htthlem  27774