Theorem branmfn 28964

Description: The norm of the bra function. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
branmfn	|- ( A e. ~H -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = ( normh ` A ) )

Proof of Theorem branmfn

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( A = 0h -> ( bra ` A ) = ( bra ` 0h ) )
2	1	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A = 0h -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = ( normfn ` ( bra ` 0h ) ) )
3		fveq2 6191	. . 3 |- ( A = 0h -> ( normh ` A ) = ( normh ` 0h ) )
4	2, 3	eqeq12d 2637	. 2 |- ( A = 0h -> ( ( normfn ` ( bra ` A ) ) = ( normh ` A ) <-> ( normfn ` ( bra ` 0h ) ) = ( normh ` 0h ) ) )
5		brafn 28806	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( bra ` A ) : ~H --> CC )
6		nmfnval 28735	. . . . 5 |- ( ( bra ` A ) : ~H --> CC -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ~H -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
9		nmfnsetre 28736	. . . . . . . 8 |- ( ( bra ` A ) : ~H --> CC -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR )
11		ressxr 10083	. . . . . . 7 |- RR C_ RR*
12	10, 11	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR* )
13		normcl 27982	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR )
14	13	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR* )
15	12, 14	jca 554	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ ( normh ` A ) e. RR* ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ ( normh ` A ) e. RR* ) )
17		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
18		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) <-> z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) ) )
21	17, 20	elab 3350	. . . . . . 7 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) -> z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) )
23		braval 28803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( bra ` A ) ` y ) = ( y .ih A ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) )
26	22, 25	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) -> z = ( abs ` ( y .ih A ) ) )
27		bcs2 28039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ~H /\ A e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( y .ih A ) ) <_ ( normh ` A ) )
28	27	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ~H /\ A e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( y .ih A ) ) <_ ( normh ` A ) )
29	28	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( y .ih A ) ) <_ ( normh ` A ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) -> ( abs ` ( y .ih A ) ) <_ ( normh ` A ) )
31	26, 30	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) -> z <_ ( normh ` A ) )
32	31	exp41 638	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ~H -> ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) -> z <_ ( normh ` A ) ) ) ) )
33	32	imp4a 614	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ~H -> ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) -> z <_ ( normh ` A ) ) ) )
34	33	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~H -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) -> z <_ ( normh ` A ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~H /\ E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) ) -> z <_ ( normh ` A ) )
36	21, 35	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( A e. ~H /\ z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } ) -> z <_ ( normh ` A ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z <_ ( normh ` A ) )
38	37	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z <_ ( normh ` A ) )
39	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. CC )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) e. CC )
41		normne0 27987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) =/= 0 <-> A =/= 0h ) )
42	41	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) =/= 0 )
43	40, 42	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` A ) ) e. CC )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> A e. ~H )
45		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) e. CC /\ A e. ~H ) -> ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) e. ~H )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) e. ~H )
47		norm1 28106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) = 1 )
48		1le1 10655	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 1
49	47, 48	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) <_ 1 )
50		ax-his3 27941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) e. CC /\ A e. ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
51	43, 44, 44, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
52	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) e. RR )
53	52, 42	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` A ) ) e. RR )
54		hiidrcl 27952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ~H -> ( A .ih A ) e. RR )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( A .ih A ) e. RR )
56	53, 55	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) e. RR )
57	51, 56	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) e. RR )
58		normgt0 27984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ~H -> ( A =/= 0h <-> 0 < ( normh ` A ) ) )
59	58	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 < ( normh ` A ) )
60	52, 59	recgt0d 10958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 < ( 1 / ( normh ` A ) ) )
61		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
62		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / ( normh ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / ( normh ` A ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` A ) ) ) )
63	61, 62	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / ( normh ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / ( normh ` A ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` A ) ) ) )
64	53, 60, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` A ) ) )
65		hiidge0 27955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ~H -> 0 <_ ( A .ih A ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 <_ ( A .ih A ) )
67	53, 55, 64, 66	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
68	67, 51	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> 0 <_ ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) )
69	57, 68	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) = ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) )
70	40, 42	recid2d 10797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( normh ` A ) ) = 1 )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( normh ` A ) x. ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( normh ` A ) ) ) = ( ( normh ` A ) x. 1 ) )
72	40, 43, 40	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( normh ` A ) x. ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( normh ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( ( normh ` A ) x. ( normh ` A ) ) ) )
73	39	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) = ( ( normh ` A ) x. ( normh ` A ) ) )
74		normsq 27991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) = ( A .ih A ) )
75	73, 74	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) x. ( normh ` A ) ) = ( A .ih A ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( normh ` A ) x. ( normh ` A ) ) = ( A .ih A ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( ( normh ` A ) x. ( normh ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
78	72, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( normh ` A ) x. ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( normh ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
79	39	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) x. 1 ) = ( normh ` A ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( ( normh ` A ) x. 1 ) = ( normh ` A ) )
81	71, 78, 80	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) x. ( A .ih A ) ) )
82	51, 69, 81	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) )
84	83	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( ( normh ` y ) <_ 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) <_ 1 ) )
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( y .ih A ) = ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( abs ` ( y .ih A ) ) = ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) )
87	86	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) <-> ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) ) )
88	84, 87	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) <-> ( ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) ) ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) e. ~H /\ ( ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( ( 1 / ( normh ` A ) ) .h A ) .ih A ) ) ) ) -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) )
90	46, 49, 82, 89	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) )
91	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) <-> ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) )
92	91	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) ) )
93	92	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ~H -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( y .ih A ) ) ) ) )
95	90, 94	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) )
96		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( normh ` A ) e. _V
97		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( normh ` A ) -> ( x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) <-> ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) )
98	97	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( normh ` A ) -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) ) )
99	98	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( normh ` A ) -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) ) )
100	96, 99	elab 3350	. . . . . . . . 9 |- ( ( normh ` A ) e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ ( normh ` A ) = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) )
101	95, 100	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normh ` A ) e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } )
102		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( normh ` A ) -> ( z < w <-> z < ( normh ` A ) ) )
103	102	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` A ) e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } /\ z < ( normh ` A ) ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w )
104	101, 103	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) /\ z < ( normh ` A ) ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w )
105	104	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) /\ z e. RR ) /\ z < ( normh ` A ) ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w )
106	105	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) /\ z e. RR ) -> ( z < ( normh ` A ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w ) )
107	106	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> A. z e. RR ( z < ( normh ` A ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w ) )
108		supxr2 12144	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ ( normh ` A ) e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z <_ ( normh ` A ) /\ A. z e. RR ( z < ( normh ` A ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = ( normh ` A ) )
109	16, 38, 107, 108	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( bra ` A ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = ( normh ` A ) )
110	8, 109	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( A e. ~H /\ A =/= 0h ) -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = ( normh ` A ) )
111		nmfn0 28846	. . . 4 |- ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) ) = 0
112		bra0 28809	. . . . 5 |- ( bra ` 0h ) = ( ~H X. { 0 } )
113	112	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( normfn ` ( bra ` 0h ) ) = ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) )
114		norm0 27985	. . . 4 |- ( normh ` 0h ) = 0
115	111, 113, 114	3eqtr4i 2654	. . 3 |- ( normfn ` ( bra ` 0h ) ) = ( normh ` 0h )
116	115	a1i 11	. 2 |- ( A e. ~H -> ( normfn ` ( bra ` 0h ) ) = ( normh ` 0h ) )
117	4, 110, 116	pm2.61ne 2879	1 |- ( A e. ~H -> ( normfn ` ( bra ` A ) ) = ( normh ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .h csm 27778   .ih csp 27779   normhcno 27780   0hc0v 27781   normfncnmf 27808   bracbr 27813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ph 27668  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-nmfn 28704  df-lnfn 28707  df-bra 28709

This theorem is referenced by:  brabn  28965