Theorem nneo 11461

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneo

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11028	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		peano2cn 10208	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
6		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
8	3, 5, 7	divcan2d 10803	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
9	1, 5, 7	divcan2d 10803	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
10	9	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
11	8, 10	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
13		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
14		zneo 11460	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
15	12, 13, 14	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N / 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
16	15	expcom 451	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
17	16	necon2bd 2810	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	11, 17	syl5com 31	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
20	19	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( j / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
23	22	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( 1 / 2 ) e. NN ) )
24	21, 23	orbi12d 746	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
28		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( j / 2 ) = ( k / 2 ) )
29	28	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( k / 2 ) e. NN ) )
30	27, 29	orbi12d 746	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) )
33	32	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
34		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
36	33, 35	orbi12d 746	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
37		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( j + 1 ) = ( N + 1 ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
39	38	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
40		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( j / 2 ) = ( N / 2 ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
42	39, 41	orbi12d 746	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) ) )
43		df-2 11079	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
44	43	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( 2 / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
45		2div2e1 11150	. . . . . . 7 |- ( 2 / 2 ) = 1
46	44, 45	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = 1
47		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
48	46, 47	eqeltri 2697	. . . . 5 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN
49	48	orci 405	. . . 4 |- ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN )
50		peano2nn 11032	. . . . . . 7 |- ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN )
51		nncn 11028	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. CC )
52		add1p1 11283	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) + 1 ) = ( k + 2 ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 2 ) / 2 ) )
54		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
55		divdir 10710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
56	4, 54, 55	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
57	45	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( k / 2 ) + 1 )
58	56, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
59	53, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
60	51, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN ) )
62	50, 61	syl5ibr 236	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
63	62	orim2d 885	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
64		orcom 402	. . . . 5 |- ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
65	63, 64	syl6ib 241	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
66	24, 30, 36, 42, 49, 65	nnind 11038	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
67	66	ord 392	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
68	18, 67	impbid 202	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nneoi  11462  zeo  11463  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  nneop  42320  nnolog2flm1  42384