Theorem zeo 11463

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11379	. . 3 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
3		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
4		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
5	3, 4	div0i 10759	. . . . . . . 8 |- ( 0 / 2 ) = 0
6		0z 11388	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) e. ZZ
8	2, 7	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. ZZ )
9	8	pm2.24d 147	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N = 0 ) -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
12	11	con3i 150	. . . . . 6 |- ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( N / 2 ) e. NN )
13		nneo 11461	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
14	13	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
15	14	con1d 139	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( -. ( N / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
17	12, 15, 16	syl56 36	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
19		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> N e. CC )
20		divneg 10719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
21	3, 4, 20	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. CC -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( -u ( N / 2 ) e. NN <-> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
24		nnnegz 11380	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl6bir 244	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ ) )
26	19	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. CC )
27	26	negnegd 10383	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( N / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
29	25, 28	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
31	30	con3d 148	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( -u N / 2 ) e. NN ) )
32		nneo 11461	. . . . . . . 8 |- ( -u N e. NN -> ( ( -u N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
33	32	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> ( -. ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
34	33	con1d 139	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN -> ( -. ( -u N / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
35		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
36		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
37		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
38	37, 3	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( 1 - 2 ) = ( 2 - 1 )
39		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1 ) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u ( 1 - 2 )
41	37, 3	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2 ) e. CC
42	37, 41	negcon2i 10364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u ( 1 - 2 ) <-> ( 1 - 2 ) = -u 1 )
43	40, 42	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
44	43	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2 ) ) = ( -u N + -u 1 )
45		negcl 10281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC )
46		addsubass 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
47	37, 3, 46	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
49		negdi 10338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
50	37, 49	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = -u ( N + 1 ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
53		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
54	45, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
55		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
56		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
57	3, 55, 56	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u N + 1 ) e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
58	54, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
59		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2 ) = 1
60	59	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2 )
61	60	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
62	58, 61	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) )
63		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
64		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
65	3, 4, 64	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
68	19, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
70	36, 69	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
71		znegcl 11412	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
72	70, 71	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
73		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. CC )
75	74	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
76	75	negnegd 10383	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
78	72, 77	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
79	35, 78	syl5 34	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
80	34, 79	sylan9r 690	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( -. ( -u N / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
81	31, 80	syld 47	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
82	10, 18, 81	3jaodan 1394	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
83	1, 82	sylbi 207	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
84	83	orrd 393	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zeo2  11464  iseralt  14415  mod2eq1n2dvds  15071  mulsucdiv2z  15077  abssinper  24270  atantayl2  24665  basellem3  24809  chtub  24937  lgseisenlem1  25100  sumnnodd  39862  zeoALTV  41581  nn0eo  42322