Theorem nnolog2flm1 42384

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 11726	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
2		nnpw2blenfzo2 42376	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) \/ N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) \/ N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) ) )
4	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
5		nneo 11461	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
8		notnotb 304	. . . . . . . 8 |- ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. -. ( N / 2 ) e. NN )
9	7, 8	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. -. ( N / 2 ) e. NN ) )
10	9	con4bid 307	. . . . . 6 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. ( N / 2 ) e. NN ) )
11		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / 2 ) = ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) / 2 ) )
13		blennnelnn 42370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> (#b ` N ) e. NN )
14	13	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> (#b ` N ) e. NN0 )
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (#b ` N ) e. NN0 )
16		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
17		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
18		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 0
19		1ne2 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 =/= 2
20	19	necomi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 1
21		logbid1 24506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ 2 =/= 1 ) -> ( 2 logb 2 ) = 1 )
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 logb 2 ) = 1
23		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
24		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
25		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR+ )
29	1	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR+ )
30		logbleb 24521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 logb 2 ) <_ ( 2 logb N ) ) )
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 logb 2 ) <_ ( 2 logb N ) ) )
32	23, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 logb 2 ) <_ ( 2 logb N ) )
33	22, 32	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( 2 logb N ) )
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 =/= 1 )
35		relogbcl 24511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR+ /\ N e. RR+ /\ 2 =/= 1 ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
37		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. ZZ )
38		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 logb N ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( 2 logb N ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 <_ ( 2 logb N ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) ) )
40	33, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) )
41	16, 40	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) )
42		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR )
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
45	36	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) e. ZZ )
46	45	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) e. RR )
47	43, 44, 46	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <-> 2 <_ ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) ) )
48	41, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) )
49		blennn 42369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> (#b ` N ) = ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) )
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (#b ` N ) = ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) )
51	48, 50	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ (#b ` N ) )
52		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (#b ` N ) e. NN0 /\ 2 <_ (#b ` N ) ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN )
53	15, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN )
55		nnpw2even 42323	. . . . . . . . 9 |- ( ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN -> ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) / 2 ) e. NN )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) / 2 ) e. NN )
57	12, 56	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / 2 ) e. NN )
58	57	pm2.24d 147	. . . . . 6 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( -. ( N / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) )
59	10, 58	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) )
60	59	ex 450	. . . 4 |- ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) ) )
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (#b ` N ) e. NN )
62		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( (#b ` N ) e. NN -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 )
64	63	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 )
65	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> N e. NN )
66		nnpw2blenfzo 42375	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> N e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
68	61	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (#b ` N ) e. CC )
69	68	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> (#b ` N ) e. CC )
70		npcan1 10455	. . . . . . . . . . 11 |- ( (#b ` N ) e. CC -> ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) = (#b ` N ) )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) = (#b ` N ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ^ (#b ` N ) ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
74	67, 73	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> N e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
75		fllog2 42362	. . . . . . 7 |- ( ( ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( (#b ` N ) - 1 ) )
76	64, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( (#b ` N ) - 1 ) )
77	61	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> (#b ` N ) e. NN )
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 )
79		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) ) /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
80		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) )
81	80	3anbi1i 1253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) ) /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) <-> ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
82	79, 81	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) <-> ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
83		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. NN
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN )
85	84, 63	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. NN /\ ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 ) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 e. NN /\ ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 ) )
87		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. NN /\ ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. NN )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. NN )
89	88	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. ZZ )
90		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
91	90	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
94	84, 63	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. NN )
95	94	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. RR )
96	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
97		leaddsub 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N <-> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N <-> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
99	98	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
100	99	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
102	101	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) )
103		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) <_ ( N - 1 ) ) )
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) )
105	70	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (#b ` N ) e. CC -> ( ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 <-> (#b ` N ) e. NN0 ) )
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 <-> (#b ` N ) e. NN0 ) )
107	15, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 )
108	84, 107	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. NN /\ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 e. NN /\ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 ) )
110		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. NN )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. NN )
112	111	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ )
113		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. RR /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. RR ) -> ( N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) -> N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
114		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> N e. RR )
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
116	115, 14	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. RR )
117	114, 116	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. RR ) )
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N e. RR /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. RR ) )
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) )
122		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ZZ )
123	84, 15	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. NN )
124	123	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ )
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ )
126		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) <-> ( N - 1 ) < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
127	122, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N <_ ( 2 ^ (#b ` N ) ) <-> ( N - 1 ) < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) )
128	121, 127	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - 1 ) < ( 2 ^ (#b ` N ) ) )
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) = (#b ` N ) )
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ^ (#b ` N ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ^ (#b ` N ) ) )
132	128, 131	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) )
133	104, 112, 132	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
134	133	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
135	134	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 ) <_ N ) /\ ( 2 ^ (#b ` N ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
136	82, 135	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
137	136	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
138		elfzo2 12473	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - 1 ) e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) <-> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) ) /\ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) < ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
139	137, 138	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( N - 1 ) e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
141		fllog2 42362	. . . . . . 7 |- ( ( ( (#b ` N ) - 1 ) e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) )..^ ( 2 ^ ( ( (#b ` N ) - 1 ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) = ( (#b ` N ) - 1 ) )
142	78, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) = ( (#b ` N ) - 1 ) )
143	76, 142	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) )
144	143	exp31 630	. . . 4 |- ( N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) ) )
145	60, 144	jaoi 394	. . 3 |- ( ( N = ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) \/ N e. ( ( ( 2 ^ ( (#b ` N ) - 1 ) ) + 1 )..^ ( 2 ^ (#b ` N ) ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) ) )
146	3, 145	mpcom 38	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) ) )
147	146	imp 445	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = ( |_ ` ( 2 logb ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   log_b clogb 24502  #bcblen 42363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503  df-blen 42364

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  42386