Theorem norm1exi 28107

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	|- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, H   y, H

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2856	. . 3 |- ( x = z -> ( x =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
2	1	cbvrexv 3172	. 2 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
4	3	sheli 28071	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. H -> z e. ~H )
5		normcl 27982	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( normh ` z ) e. RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) e. RR )
8		normne0 27987	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
10	9	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) =/= 0 )
11	7, 10	rereccld 10852	. . . . . . 7 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> z e. H )
14		shmulcl 28075	. . . . . . 7 |- ( ( H e. SH /\ ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
15	3, 14	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
16	12, 13, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
17		norm1 28106	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
18	4, 17	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
19		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( ( normh ` y ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
22	16, 18, 21	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
23	22	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. z e. H z =/= 0h -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
24		ax-1ne0 10005	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
25	24	neii 2796	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
26		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
27	25, 26	mtbiri 317	. . . . . 6 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> -. ( normh ` y ) = 0 )
28	3	sheli 28071	. . . . . . . 8 |- ( y e. H -> y e. ~H )
29		norm-i 27986	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
31	30	necon3bbid 2831	. . . . . 6 |- ( y e. H -> ( -. ( normh ` y ) = 0 <-> y =/= 0h ) )
32	27, 31	syl5ib 234	. . . . 5 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 1 -> y =/= 0h ) )
33	32	reximia 3009	. . . 4 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. H y =/= 0h )
34		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
35	34	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
36	33, 35	sylib 208	. . 3 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. z e. H z =/= 0h )
37	23, 36	impbii 199	. 2 |- ( E. z e. H z =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
38	2, 37	bitri 264	1 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684   ~Hchil 27776   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  norm1hex  28108  pjnmopi  29007