Theorem ofldlt1 29813

Description: In an ordered field, the ring unit is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	|- .0. = ( 0g ` F )
orng0le1.2	|- .1. = ( 1r ` F )
ofld0lt1.3	|- .< = ( lt ` F )

Assertion

Ref	Expression
ofldlt1	|- ( F e. oField -> .0. .< .1. )

Proof of Theorem ofldlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 29802	. . . 4 |- ( F e. oField <-> ( F e. Field /\ F e. oRing ) )
2	1	simprbi 480	. . 3 |- ( F e. oField -> F e. oRing )
3		orng0le1.1	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` F )
4		orng0le1.2	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` F ) = ( le ` F )
6	3, 4, 5	orng0le1 29812	. . 3 |- ( F e. oRing -> .0. ( le ` F ) .1. )
7	2, 6	syl 17	. 2 |- ( F e. oField -> .0. ( le ` F ) .1. )
8		ofldfld 29810	. . . 4 |- ( F e. oField -> F e. Field )
9		isfld 18756	. . . . 5 |- ( F e. Field <-> ( F e. DivRing /\ F e. CRing ) )
10	9	simplbi 476	. . . 4 |- ( F e. Field -> F e. DivRing )
11	3, 4	drngunz 18762	. . . 4 |- ( F e. DivRing -> .1. =/= .0. )
12	8, 10, 11	3syl 18	. . 3 |- ( F e. oField -> .1. =/= .0. )
13	12	necomd 2849	. 2 |- ( F e. oField -> .0. =/= .1. )
14		fvex 6201	. . . 4 |- ( 0g ` F ) e. _V
15	3, 14	eqeltri 2697	. . 3 |- .0. e. _V
16		fvex 6201	. . . 4 |- ( 1r ` F ) e. _V
17	4, 16	eqeltri 2697	. . 3 |- .1. e. _V
18		ofld0lt1.3	. . . 4 |- .< = ( lt ` F )
19	5, 18	pltval 16960	. . 3 |- ( ( F e. oField /\ .0. e. _V /\ .1. e. _V ) -> ( .0. .< .1. <-> ( .0. ( le ` F ) .1. /\ .0. =/= .1. ) ) )
20	15, 17, 19	mp3an23 1416	. 2 |- ( F e. oField -> ( .0. .< .1. <-> ( .0. ( le ` F ) .1. /\ .0. =/= .1. ) ) )
21	7, 13, 20	mpbir2and 957	1 |- ( F e. oField -> .0. .< .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   lecple 15948   0gc0g 16100   ltcplt 16941   1rcur 18501   CRingccrg 18548   DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748  oRingcorng 29795  oFieldcofld 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-drng 18749  df-field 18750  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-orng 29797  df-ofld 29798

This theorem is referenced by:  ofldchr  29814  isarchiofld  29817