Theorem isarchiofld 29817

Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchiofld.b	|- B = ( Base ` W )
isarchiofld.h	|- H = ( ZRHom ` W )
isarchiofld.l	|- .< = ( lt ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchiofld	|- ( W e. oField -> ( W e. Archi <-> A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, B   n, W, x   x, H   .< , n, x

Allowed substitution hint:   H( n)

Proof of Theorem isarchiofld

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 29802	. . . 4 |- ( W e. oField <-> ( W e. Field /\ W e. oRing ) )
2	1	simprbi 480	. . 3 |- ( W e. oField -> W e. oRing )
3		orngogrp 29801	. . 3 |- ( W e. oRing -> W e. oGrp )
4		isarchiofld.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
6		isarchiofld.l	. . . 4 |- .< = ( lt ` W )
7		eqid 2622	. . . 4 |- (.g ` W ) = (.g ` W )
8	4, 5, 6, 7	isarchi3 29741	. . 3 |- ( W e. oGrp -> ( W e. Archi <-> A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) ) )
9	2, 3, 8	3syl 18	. 2 |- ( W e. oField -> ( W e. Archi <-> A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) ) )
10		orngring 29800	. . . . . . 7 |- ( W e. oRing -> W e. Ring )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
12	4, 11	ringidcl 18568	. . . . . . 7 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. B )
13	2, 10, 12	3syl 18	. . . . . 6 |- ( W e. oField -> ( 1r ` W ) e. B )
14		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( ( 0g ` W ) .< y <-> ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) ) )
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( n (.g ` W ) y ) = ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) )
16	15	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( x .< ( n (.g ` W ) y ) <-> x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) <-> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
18	14, 17	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) <-> ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = ( 1r ` W ) -> ( A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) <-> A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) ) )
20	19	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( 1r ` W ) e. B -> ( A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) -> A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) ) )
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. oField -> ( A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) -> A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) ) )
22	5, 11, 6	ofldlt1 29813	. . . . . . 7 |- ( W e. oField -> ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) )
23		pm5.5 351	. . . . . . 7 |- ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> ( ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) <-> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( W e. oField -> ( ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) <-> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( W e. oField -> ( A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< ( 1r ` W ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) <-> A. x e. B E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
26	21, 25	sylibd 229	. . . 4 |- ( W e. oField -> ( A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) -> A. x e. B E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
27	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( W e. oField -> W e. Ring )
28		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
29		isarchiofld.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( ZRHom ` W )
30	29, 7, 11	zrhmulg 19858	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Ring /\ n e. ZZ ) -> ( H ` n ) = ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) )
31	27, 28, 30	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( W e. oField /\ n e. NN ) -> ( H ` n ) = ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) )
32	31	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( W e. oField /\ n e. NN ) -> ( x .< ( H ` n ) <-> x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
33	32	rexbidva 3049	. . . . 5 |- ( W e. oField -> ( E. n e. NN x .< ( H ` n ) <-> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( W e. oField -> ( A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) <-> A. x e. B E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
35	26, 34	sylibrd 249	. . 3 |- ( W e. oField -> ( A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) -> A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) )
36		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x W e. oField
37		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n )
38	36, 37	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) )
39		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x y e. B
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ y e. B )
41	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> W e. Ring )
42		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> x e. B )
43		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> y e. B )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( 0g ` W ) .< y )
45		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> W e. oField )
46		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. Ring -> W e. Grp )
47	4, 5	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. Grp -> ( 0g ` W ) e. B )
48	41, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( 0g ` W ) e. B )
49	6	pltne 16962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. oField /\ ( 0g ` W ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` W ) .< y -> ( 0g ` W ) =/= y ) )
50	45, 48, 43, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( ( 0g ` W ) .< y -> ( 0g ` W ) =/= y ) )
51	44, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( 0g ` W ) =/= y )
52	51	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> y =/= ( 0g ` W ) )
53	1	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. oField -> W e. Field )
54		isfld 18756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. Field <-> ( W e. DivRing /\ W e. CRing ) )
55	54	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Field -> W e. DivRing )
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. oField -> W e. DivRing )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Unit ` W ) = (Unit ` W )
58	4, 57, 5	drngunit 18752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. DivRing -> ( y e. (Unit ` W ) <-> ( y e. B /\ y =/= ( 0g ` W ) ) ) )
59	45, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( y e. (Unit ` W ) <-> ( y e. B /\ y =/= ( 0g ` W ) ) ) )
60	43, 52, 59	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> y e. (Unit ` W ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (/r ` W ) = (/r ` W )
62	4, 57, 61	dvrcl 18686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Ring /\ x e. B /\ y e. (Unit ` W ) ) -> ( x (/r ` W ) y ) e. B )
63	41, 42, 60, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( x (/r ` W ) y ) e. B )
64		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) -> A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) )
65		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x .< ( H ` n ) <-> z .< ( H ` n ) ) )
66	65	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( E. n e. NN x .< ( H ` n ) <-> E. n e. NN z .< ( H ` n ) ) )
67	66	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) <-> A. z e. B E. n e. NN z .< ( H ` n ) )
68	64, 67	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) -> A. z e. B E. n e. NN z .< ( H ` n ) )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> A. z e. B E. n e. NN z .< ( H ` n ) )
70		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x (/r ` W ) y ) -> ( z .< ( H ` n ) <-> ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) )
71	70	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x (/r ` W ) y ) -> ( E. n e. NN z .< ( H ` n ) <-> E. n e. NN ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) )
72	71	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (/r ` W ) y ) e. B -> ( A. z e. B E. n e. NN z .< ( H ` n ) -> E. n e. NN ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) )
73	63, 69, 72	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> E. n e. NN ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` W ) = ( .r ` W )
75		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> W e. oField )
76	75, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> W e. oRing )
77	75, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> W e. Ring )
78		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( y e. B /\ x e. B ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> x e. B )
80	78	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> y e. B )
81		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( 0g ` W ) .< y )
82	77, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( 0g ` W ) e. B )
83	75, 82, 80, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( 0g ` W ) .< y -> ( 0g ` W ) =/= y ) )
84	81, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( 0g ` W ) =/= y )
85	84	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> y =/= ( 0g ` W ) )
86	75, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( y e. (Unit ` W ) <-> ( y e. B /\ y =/= ( 0g ` W ) ) ) )
87	80, 85, 86	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> y e. (Unit ` W ) )
88	77, 79, 87, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( x (/r ` W ) y ) e. B )
89		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> n e. NN )
90	75, 89, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) )
91	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> W e. Grp )
92	89, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> n e. ZZ )
93	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( 1r ` W ) e. B )
94	4, 7	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Grp /\ n e. ZZ /\ ( 1r ` W ) e. B ) -> ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) e. B )
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) e. B )
96	90, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( H ` n ) e. B )
97	75, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> W e. DivRing )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) )
99	4, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81	orngrmullt 29808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( x (/r ` W ) y ) ( .r ` W ) y ) .< ( ( H ` n ) ( .r ` W ) y ) )
100	4, 57, 61, 74	dvrcan1 18691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Ring /\ x e. B /\ y e. (Unit ` W ) ) -> ( ( x (/r ` W ) y ) ( .r ` W ) y ) = x )
101	77, 79, 87, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( x (/r ` W ) y ) ( .r ` W ) y ) = x )
102	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( H ` n ) ( .r ` W ) y ) = ( ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ( .r ` W ) y ) )
103	4, 7, 74	mulgass2 18601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Ring /\ ( n e. ZZ /\ ( 1r ` W ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ( .r ` W ) y ) = ( n (.g ` W ) ( ( 1r ` W ) ( .r ` W ) y ) ) )
104	77, 92, 93, 80, 103	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( n (.g ` W ) ( 1r ` W ) ) ( .r ` W ) y ) = ( n (.g ` W ) ( ( 1r ` W ) ( .r ` W ) y ) ) )
105	4, 74, 11	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Ring /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` W ) ( .r ` W ) y ) = y )
106	77, 80, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( 1r ` W ) ( .r ` W ) y ) = y )
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( n (.g ` W ) ( ( 1r ` W ) ( .r ` W ) y ) ) = ( n (.g ` W ) y ) )
108	102, 104, 107	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> ( ( H ` n ) ( .r ` W ) y ) = ( n (.g ` W ) y ) )
109	99, 101, 108	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) /\ ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) ) -> x .< ( n (.g ` W ) y ) )
110	109	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) /\ n e. NN ) -> ( ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) -> x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
111	110	reximdva 3017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. oField /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( E. n e. NN ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
112	111	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> ( E. n e. NN ( x (/r ` W ) y ) .< ( H ` n ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
113	73, 112	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) /\ ( 0g ` W ) .< y ) -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) )
114	113	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
115	114	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ y e. B ) -> ( x e. B -> ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) ) )
116	40, 115	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) /\ y e. B ) -> A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
117	116	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( W e. oField /\ A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) -> A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) )
118	117	ex 450	. . 3 |- ( W e. oField -> ( A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) -> A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) ) )
119	35, 118	impbid 202	. 2 |- ( W e. oField -> ( A. y e. B A. x e. B ( ( 0g ` W ) .< y -> E. n e. NN x .< ( n (.g ` W ) y ) ) <-> A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) )
120	9, 119	bitrd 268	1 |- ( W e. oField -> ( W e. Archi <-> A. x e. B E. n e. NN x .< ( H ` n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NNcn 11020   ZZcz 11377   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   ltcplt 16941   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639  /_rcdvr 18682   DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748   ZRHomczrh 19848  oGrpcogrp 29698  Archicarchi 29731  oRingcorng 29795  oFieldcofld 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733  df-orng 29797  df-ofld 29798

This theorem is referenced by:  rearchi  29842