Theorem orbsta 17746

Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping F is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of A to the orbit of A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	|- X = ( Base ` G )
gasta.2	|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
orbsta.r	|- .~ = ( G ~QG H )
orbsta.f	|- F = ran ( k e. X |-> <. [ k ] .~ , ( k .(+) A ) >. )
orbsta.o	|- O = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
orbsta	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> F : ( X /. .~ ) -1-1-onto-> [ A ] O )

Distinct variable groups:   g, k, x, y, .~   u, g, .(+) , k, x, y   x, H, y   A, g, k, u, x, y   g, G, k, u, x, y   g, X, k, u, x, y   k, O   g, Y, k, x, y

Allowed substitution hints:   .~ ( u)   F( x, y, u, g, k)   H( u, g, k)   O( x, y, u, g)   Y( u)

Proof of Theorem orbsta

Dummy variables a b h w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
2		gasta.2	. . . . 5 |- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
3		orbsta.r	. . . . 5 |- .~ = ( G ~QG H )
4		orbsta.f	. . . . 5 |- F = ran ( k e. X |-> <. [ k ] .~ , ( k .(+) A ) >. )
5	1, 2, 3, 4	orbstafun 17744	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> Fun F )
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> A e. Y )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> A e. Y )
8	1	gaf 17728	. . . . . . . . . 10 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
11		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> k e. X )
12	10, 11, 7	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> ( k .(+) A ) e. Y )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k .(+) A ) = ( k .(+) A )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( h = k -> ( h .(+) A ) = ( k .(+) A ) )
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( h = k -> ( ( h .(+) A ) = ( k .(+) A ) <-> ( k .(+) A ) = ( k .(+) A ) ) )
16	15	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. X /\ ( k .(+) A ) = ( k .(+) A ) ) -> E. h e. X ( h .(+) A ) = ( k .(+) A ) )
17	11, 13, 16	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> E. h e. X ( h .(+) A ) = ( k .(+) A ) )
18		orbsta.o	. . . . . . . 8 |- O = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
19	18	gaorb 17740	. . . . . . 7 |- ( A O ( k .(+) A ) <-> ( A e. Y /\ ( k .(+) A ) e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) A ) = ( k .(+) A ) ) )
20	7, 12, 17, 19	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> A O ( k .(+) A ) )
21		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( k .(+) A ) e. _V
22		elecg 7785	. . . . . . 7 |- ( ( ( k .(+) A ) e. _V /\ A e. Y ) -> ( ( k .(+) A ) e. [ A ] O <-> A O ( k .(+) A ) ) )
23	21, 7, 22	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> ( ( k .(+) A ) e. [ A ] O <-> A O ( k .(+) A ) ) )
24	20, 23	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> ( k .(+) A ) e. [ A ] O )
25	1, 2	gastacl 17742	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
26	1, 3	eqger 17644	. . . . . 6 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> .~ Er X )
28		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) e. _V
29	1, 28	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- X e. _V
30	29	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> X e. _V )
31	4, 24, 27, 30	qliftf 7835	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( Fun F <-> F : ( X /. .~ ) --> [ A ] O ) )
32	5, 31	mpbid 222	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> F : ( X /. .~ ) --> [ A ] O )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- ( X /. .~ ) = ( X /. .~ )
34		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( [ z ] .~ = a -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` a ) )
35	34	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( [ z ] .~ = a -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
36		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( [ z ] .~ = a -> ( [ z ] .~ = b <-> a = b ) )
37	35, 36	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( [ z ] .~ = a -> ( ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) -> [ z ] .~ = b ) <-> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( [ z ] .~ = a -> ( A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) -> [ z ] .~ = b ) <-> A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( [ w ] .~ = b -> ( F ` [ w ] .~ ) = ( F ` b ) )
40	39	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = b -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) <-> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) ) )
41		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = b -> ( [ z ] .~ = [ w ] .~ <-> [ z ] .~ = b ) )
42	40, 41	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = b -> ( ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) -> [ z ] .~ = [ w ] .~ ) <-> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) -> [ z ] .~ = b ) ) )
43	1, 2, 3, 4	orbstaval 17745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ z e. X ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( z .(+) A ) )
44	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( z .(+) A ) )
45	1, 2, 3, 4	orbstaval 17745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ w e. X ) -> ( F ` [ w ] .~ ) = ( w .(+) A ) )
46	45	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` [ w ] .~ ) = ( w .(+) A ) )
47	44, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) <-> ( z .(+) A ) = ( w .(+) A ) ) )
48	1, 2, 3	gastacos 17743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z .~ w <-> ( z .(+) A ) = ( w .(+) A ) ) )
49	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> .~ Er X )
50		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
51	49, 50	erth 7791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z .~ w <-> [ z ] .~ = [ w ] .~ ) )
52	47, 48, 51	3bitr2d 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) <-> [ z ] .~ = [ w ] .~ ) )
53	52	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) -> [ z ] .~ = [ w ] .~ ) )
54	53	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ w ] .~ ) -> [ z ] .~ = [ w ] .~ ) )
55	33, 42, 54	ectocld 7814	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ z e. X ) /\ b e. ( X /. .~ ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) -> [ z ] .~ = b ) )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ z e. X ) -> A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` b ) -> [ z ] .~ = b ) )
57	33, 38, 56	ectocld 7814	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ a e. ( X /. .~ ) ) -> A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> A. a e. ( X /. .~ ) A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
59		dff13 6512	. . 3 |- ( F : ( X /. .~ ) -1-1-> [ A ] O <-> ( F : ( X /. .~ ) --> [ A ] O /\ A. a e. ( X /. .~ ) A. b e. ( X /. .~ ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
60	32, 58, 59	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> F : ( X /. .~ ) -1-1-> [ A ] O )
61		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- h e. _V
62		elecg 7785	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. _V /\ A e. Y ) -> ( h e. [ A ] O <-> A O h ) )
63	61, 6, 62	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( h e. [ A ] O <-> A O h ) )
64	18	gaorb 17740	. . . . . . . 8 |- ( A O h <-> ( A e. Y /\ h e. Y /\ E. w e. X ( w .(+) A ) = h ) )
65	63, 64	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( h e. [ A ] O <-> ( A e. Y /\ h e. Y /\ E. w e. X ( w .(+) A ) = h ) ) )
66	65	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ h e. [ A ] O ) -> ( A e. Y /\ h e. Y /\ E. w e. X ( w .(+) A ) = h ) )
67	66	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ h e. [ A ] O ) -> E. w e. X ( w .(+) A ) = h )
68		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ~QG H ) e. _V
69	3, 68	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- .~ e. _V
70	69	ecelqsi 7803	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. X -> [ w ] .~ e. ( X /. .~ ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ w e. X ) -> [ w ] .~ e. ( X /. .~ ) )
72	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ w e. X ) -> ( w .(+) A ) = ( F ` [ w ] .~ ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = [ w ] .~ -> ( F ` z ) = ( F ` [ w ] .~ ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( z = [ w ] .~ -> ( ( w .(+) A ) = ( F ` z ) <-> ( w .(+) A ) = ( F ` [ w ] .~ ) ) )
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( [ w ] .~ e. ( X /. .~ ) /\ ( w .(+) A ) = ( F ` [ w ] .~ ) ) -> E. z e. ( X /. .~ ) ( w .(+) A ) = ( F ` z ) )
76	71, 72, 75	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ w e. X ) -> E. z e. ( X /. .~ ) ( w .(+) A ) = ( F ` z ) )
77		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( ( w .(+) A ) = h -> ( ( w .(+) A ) = ( F ` z ) <-> h = ( F ` z ) ) )
78	77	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( w .(+) A ) = h -> ( E. z e. ( X /. .~ ) ( w .(+) A ) = ( F ` z ) <-> E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) ) )
79	76, 78	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ w e. X ) -> ( ( w .(+) A ) = h -> E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) ) )
80	79	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( E. w e. X ( w .(+) A ) = h -> E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) ) )
81	80	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ E. w e. X ( w .(+) A ) = h ) -> E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) )
82	67, 81	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ h e. [ A ] O ) -> E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) )
83	82	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> A. h e. [ A ] O E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) )
84		dffo3 6374	. . 3 |- ( F : ( X /. .~ ) -onto-> [ A ] O <-> ( F : ( X /. .~ ) --> [ A ] O /\ A. h e. [ A ] O E. z e. ( X /. .~ ) h = ( F ` z ) ) )
85	32, 83, 84	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> F : ( X /. .~ ) -onto-> [ A ] O )
86		df-f1o 5895	. 2 |- ( F : ( X /. .~ ) -1-1-onto-> [ A ] O <-> ( F : ( X /. .~ ) -1-1-> [ A ] O /\ F : ( X /. .~ ) -onto-> [ A ] O ) )
87	60, 85, 86	sylanbrc 698	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> F : ( X /. .~ ) -1-1-onto-> [ A ] O )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   Basecbs 15857  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  orbsta2  17747