Theorem gastacos 17743

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	|- X = ( Base ` G )
gasta.2	|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
orbsta.r	|- .~ = ( G ~QG H )

Assertion

Ref	Expression
gastacos	|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )

Distinct variable groups:   u, .(+)   u, A   u, G   u, B   u, X   u, C

Allowed substitution hints:   .~ ( u)   H( u)   Y( u)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
2		gasta.2	. . . . . . 7 |- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
3	1, 2	gastacl 17742	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
5		subgrcl 17599	. . . . 5 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. Grp )
7	1	subgss 17595	. . . . 5 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
8	4, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H C_ X )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
11		orbsta.r	. . . . 5 |- .~ = ( G ~QG H )
12	1, 9, 10, 11	eqgval 17643	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ H C_ X ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
13	6, 8, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
14		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) )
15	13, 14	syl6bb 276	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
16		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B e. X /\ C e. X ) )
17	16	biantrurd 529	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
18		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
19		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
20	1, 9	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
21	6, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
22		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
23		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. Y )
24	1, 10	gaass 17730	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X /\ A e. Y ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) )
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
27	1, 10	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X )
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X )
29		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( u .(+) A ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
31	30, 2	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
32	31	baib 944	. . . 4 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
33	28, 32	syl 17	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
34	1	gaf 17728	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
35	18, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
36	35, 22, 23	fovrnd 6806	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C .(+) A ) e. Y )
37	1, 9	gacan 17738	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( B e. X /\ A e. Y /\ ( C .(+) A ) e. Y ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
39	26, 33, 38	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )
40	15, 17, 39	3bitr2d 296	1 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  orbstafun  17744  orbsta  17746