Theorem orbstafun 17744

Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 17746. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	|- X = ( Base ` G )
gasta.2	|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
orbsta.r	|- .~ = ( G ~QG H )
orbsta.f	|- F = ran ( k e. X |-> <. [ k ] .~ , ( k .(+) A ) >. )

Assertion

Ref	Expression
orbstafun	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> Fun F )

Distinct variable groups:   .~ , k   u, k, .(+)   A, k, u   k, G, u   k, X, u   k, Y

Allowed substitution hints:   .~ ( u)   F( u, k)   H( u, k)   Y( u)

Proof of Theorem orbstafun

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 |- F = ran ( k e. X |-> <. [ k ] .~ , ( k .(+) A ) >. )
2		ovexd 6680	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k e. X ) -> ( k .(+) A ) e. _V )
3		gasta.1	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
4		gasta.2	. . . 4 |- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
5	3, 4	gastacl 17742	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
6		orbsta.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG H )
7	3, 6	eqger 17644	. . 3 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
8	5, 7	syl 17	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> .~ Er X )
9		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` G ) e. _V
10	3, 9	eqeltri 2697	. . 3 |- X e. _V
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> X e. _V )
12		oveq1 6657	. 2 |- ( k = h -> ( k .(+) A ) = ( h .(+) A ) )
13		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> k .~ h )
14		subgrcl 17599	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
15	3	subgss 17595	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
18	3, 16, 17, 6	eqgval 17643	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ H C_ X ) -> ( k .~ h <-> ( k e. X /\ h e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` k ) ( +g ` G ) h ) e. H ) ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( k .~ h <-> ( k e. X /\ h e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` k ) ( +g ` G ) h ) e. H ) ) )
20	5, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( k .~ h <-> ( k e. X /\ h e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` k ) ( +g ` G ) h ) e. H ) ) )
21	20	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> ( k e. X /\ h e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` k ) ( +g ` G ) h ) e. H ) )
22	21	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> k e. X )
23	21	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> h e. X )
24	22, 23	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> ( k e. X /\ h e. X ) )
25	3, 4, 6	gastacos 17743	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( k e. X /\ h e. X ) ) -> ( k .~ h <-> ( k .(+) A ) = ( h .(+) A ) ) )
26	24, 25	syldan 487	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> ( k .~ h <-> ( k .(+) A ) = ( h .(+) A ) ) )
27	13, 26	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ k .~ h ) -> ( k .(+) A ) = ( h .(+) A ) )
28	1, 2, 8, 11, 12, 27	qliftfund 7833	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> Fun F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  orbstaval  17745  orbsta  17746