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Theorem pgrpgt2nabl 42147
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g |- G = ( SymGrp ` A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabl |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> G e/ Abel )
Proof of Theorem pgrpgt2nabl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ran (pmTrsp ` A ) = ran (pmTrsp ` A )
2 pgrple2abl.g . . . . . . . 8 |- G = ( SymGrp ` A )
3 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
41, 2, 3symgtrf 17889 . . . . . . 7 |- ran (pmTrsp ` A ) C_ ( Base ` G )
5 hashcl 13147 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
6 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN0
7 nn0ltp1le 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN0 ) -> ( 2 < ( # ` A ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( # ` A ) ) )
86, 7mpan 706 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( 2 < ( # ` A ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( # ` A ) ) )
9 2p1e3 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( 2 + 1 ) = 3 )
1110breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( 2 + 1 ) <_ ( # ` A ) <-> 3 <_ ( # ` A ) ) )
128, 11bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( 2 < ( # ` A ) <-> 3 <_ ( # ` A ) ) )
1312biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( 2 < ( # ` A ) -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
1413adantld 483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
16 3re 11094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
1716rexri 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR*
18 pnfge 11964 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR* -> 3 <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 <_ +oo
20 hashinf 13122 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
2119, 20syl5breqr 4691 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 3 <_ ( # ` A ) )
2221ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> ( -. A e. Fin -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
2423com12 32 . . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> 3 <_ ( # ` A ) ) )
2515, 24pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> 3 <_ ( # ` A ) )
26 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- (pmTrsp ` A ) = (pmTrsp ` A )
2726pmtr3ncom 17895 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 3 <_ ( # ` A ) ) -> E. y e. ran (pmTrsp ` A ) E. x e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
28 rexcom 3099 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) <-> E. y e. ran (pmTrsp ` A ) E. x e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
2927, 28sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ 3 <_ ( # ` A ) ) -> E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
3025, 29syldan 487 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
31 ssrexv 3667 . . . . . . . . 9 |- ( ran (pmTrsp ` A ) C_ ( Base ` G ) -> ( E. y e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) -> E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) ) )
3231reximdv 3016 . . . . . . . 8 |- ( ran (pmTrsp ` A ) C_ ( Base ` G ) -> ( E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ran (pmTrsp ` A ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) -> E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) ) )
334, 30, 32mpsyl 68 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
34 ssrexv 3667 . . . . . . 7 |- ( ran (pmTrsp ` A ) C_ ( Base ` G ) -> ( E. x e. ran (pmTrsp ` A ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) -> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 68 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) )
36 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
372, 3, 36symgov 17810 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x o. y ) )
3837adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x o. y ) )
39 pm3.22 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) /\ x e. ( Base ` G ) ) )
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) /\ x e. ( Base ` G ) ) )
412, 3, 36symgov 17810 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( Base ` G ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y o. x ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y o. x ) )
4338, 42neeq12d 2855 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( x o. y ) =/= ( y o. x ) ) )
44432rexbidva 3056 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> ( E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x o. y ) =/= ( y o. x ) ) )
4535, 44mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
46 rexnal 2995 . . . . . 6 |- ( E. x e. ( Base ` G ) -. A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
47 rexnal 2995 . . . . . . . 8 |- ( E. y e. ( Base ` G ) -. ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> -. A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
48 df-ne 2795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) <-> -. ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
4948bicomi 214 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
5049rexbii 3041 . . . . . . . 8 |- ( E. y e. ( Base ` G ) -. ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
5147, 50bitr3i 266 . . . . . . 7 |- ( -. A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
5251rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. x e. ( Base ` G ) -. A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
5346, 52bitr3i 266 . . . . 5 |- ( -. A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. x e. ( Base ` G ) E. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) =/= ( y ( +g ` G ) x ) )
5445, 53sylibr 224 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> -. A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
5554intnand 962 . . 3 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> -. ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
5655intnand 962 . 2 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> -. ( G e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2898 . . 3 |- ( G e/ Abel <-> -. G e. Abel )
58 isabl 18197 . . . 4 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
593, 36iscmn 18200 . . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
6059anbi2i 730 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6158, 60bitri 264 . . 3 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 324 . 2 |- ( G e/ Abel <-> -. ( G e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 224 1 |- ( ( A e. V /\ 2 < ( # ` A ) ) -> G e/ Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ran crn 5115   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-cmn 18195  df-abl 18196
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