Theorem phlpropd 20000

Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
phlpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
phlpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
phlpropd.4	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
phlpropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
phlpropd.6	|- P = ( Base ` F )
phlpropd.7	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
phlpropd.8	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .i ` K ) y ) = ( x ( .i ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
phlpropd	|- ( ph -> ( K e. PreHil <-> L e. PreHil ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, K, y   x, L, y   x, P, y   ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlpropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		phlpropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		phlpropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4		phlpropd.4	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
5		phlpropd.5	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
6		phlpropd.6	. . . 4 |- P = ( Base ` F )
7		phlpropd.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lvecpropd 19167	. . 3 |- ( ph -> ( K e. LVec <-> L e. LVec ) )
9	4, 5	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
10	9	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ph -> ( (Scalar ` K ) e. *Ring <-> (Scalar ` L ) e. *Ring ) )
11		phlpropd.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .i ` K ) y ) = ( x ( .i ` L ) y ) )
12	11	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ a e. B ) ) -> ( b ( .i ` K ) a ) = ( b ( .i ` L ) a ) )
13	12	anass1rs 849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( b ( .i ` K ) a ) = ( b ( .i ` L ) a ) )
14	13	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. B |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) )
15	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
16	15	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) )
17	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
18	17	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) = ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) )
19	14, 16, 18	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) )
20		rlmbas 19195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` F ) = ( Base ` (ringLMod ` F ) )
21	6, 20	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( Base ` (ringLMod ` F ) )
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P = ( Base ` (ringLMod ` F ) ) )
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` K ) e. _V
24	4, 23	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
25		rlmsca 19200	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. _V -> F = (Scalar ` (ringLMod ` F ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = (Scalar ` (ringLMod ` F ) ) )
27		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` (ringLMod ` F ) ) y ) = ( x ( +g ` (ringLMod ` F ) ) y ) )
28		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .s ` (ringLMod ` F ) ) y ) = ( x ( .s ` (ringLMod ` F ) ) y ) )
29	1, 22, 2, 22, 4, 26, 5, 26, 6, 6, 3, 27, 7, 28	lmhmpropd 19073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K LMHom (ringLMod ` F ) ) = ( L LMHom (ringLMod ` F ) ) )
30	4	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ringLMod ` F ) = (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K LMHom (ringLMod ` F ) ) = ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) )
32	5	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ringLMod ` F ) = (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L LMHom (ringLMod ` F ) ) = ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) )
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) = ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) = ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) )
36	19, 35	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) <-> ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) ) )
37	11	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ a e. B ) ) -> ( a ( .i ` K ) a ) = ( a ( .i ` L ) a ) )
38	37	anabsan2 863	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a ( .i ` K ) a ) = ( a ( .i ` L ) a ) )
39	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` (Scalar ` K ) ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 0g ` (Scalar ` K ) ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) )
41	38, 40	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) <-> ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) ) )
42	1, 2, 3	grpidpropd 17261	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a = ( 0g ` K ) <-> a = ( 0g ` L ) ) )
45	41, 44	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) <-> ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) )
46	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( *r ` (Scalar ` K ) ) = ( *r ` (Scalar ` L ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( *r ` (Scalar ` K ) ) = ( *r ` (Scalar ` L ) ) )
48	11	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( .i ` K ) b ) = ( a ( .i ` L ) b ) )
49	47, 48	fveq12d 6197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) )
50	49	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) )
51	50, 13	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) )
52	51	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. B ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) )
53	15	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) )
54	17	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) <-> A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) )
55	52, 53, 54	3bitr3d 298	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) )
56	36, 45, 55	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) )
57	56	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. B ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) )
58	1	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) )
59	2	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) )
60	57, 58, 59	3bitr3d 298	. . 3 |- ( ph -> ( A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) )
61	8, 10, 60	3anbi123d 1399	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. LVec /\ (Scalar ` K ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) <-> ( L e. LVec /\ (Scalar ` L ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) )
62		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
63		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
64		eqid 2622	. . 3 |- ( .i ` K ) = ( .i ` K )
65		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
66		eqid 2622	. . 3 |- ( *r ` (Scalar ` K ) ) = ( *r ` (Scalar ` K ) )
67		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` (Scalar ` K ) ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) )
68	62, 63, 64, 65, 66, 67	isphl 19973	. 2 |- ( K e. PreHil <-> ( K e. LVec /\ (Scalar ` K ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom (ringLMod ` (Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` (Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) )
69		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
70		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
71		eqid 2622	. . 3 |- ( .i ` L ) = ( .i ` L )
72		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
73		eqid 2622	. . 3 |- ( *r ` (Scalar ` L ) ) = ( *r ` (Scalar ` L ) )
74		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` (Scalar ` L ) ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) )
75	69, 70, 71, 72, 73, 74	isphl 19973	. 2 |- ( L e. PreHil <-> ( L e. LVec /\ (Scalar ` L ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom (ringLMod ` (Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` (Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` (Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) )
76	61, 68, 75	3bitr4g 303	1 |- ( ph -> ( K e. PreHil <-> L e. PreHil ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   *rcstv 15943  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946   0gc0g 16100   *Ringcsr 18844   LMHom clmhm 19019   LVecclvec 19102  ringLModcrglmod 19169   PreHilcphl 19969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971

This theorem is referenced by:  tchphl  23026