Theorem isphld 19999

Description: Properties that determine a pre-Hilbert (inner product) space. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphld.v	|- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
isphld.a	|- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )
isphld.s	|- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )
isphld.i	|- ( ph -> I = ( .i ` W ) )
isphld.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
isphld.f	|- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )
isphld.k	|- ( ph -> K = ( Base ` F ) )
isphld.p	|- ( ph -> .+^ = ( +g ` F ) )
isphld.t	|- ( ph -> .X. = ( .r ` F ) )
isphld.c	|- ( ph -> .* = ( *r ` F ) )
isphld.o	|- ( ph -> O = ( 0g ` F ) )
isphld.l	|- ( ph -> W e. LVec )
isphld.r	|- ( ph -> F e. *Ring )
isphld.cl	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x I y ) e. K )
isphld.d	|- ( ( ph /\ q e. K /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) )
isphld.ns	|- ( ( ph /\ x e. V /\ ( x I x ) = O ) -> x = .0. )
isphld.cj	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( .* ` ( x I y ) ) = ( y I x ) )

Assertion

Ref	Expression
isphld	|- ( ph -> W e. PreHil )

Distinct variable groups:   x, q, y, z, ph   W, q, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z, q)   .+^ ( x, y, z, q)   .x. ( x, y, z, q)   .X. ( x, y, z, q)   F( x, y, z, q)   I( x, y, z, q)   .* ( x, y, z, q)   K( x, y, z, q)   O( x, y, z, q)   V( x, y, z, q)   .0. ( x, y, z, q)

Proof of Theorem isphld

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphld.l	. 2 |- ( ph -> W e. LVec )
2		isphld.f	. . 3 |- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )
3		isphld.r	. . 3 |- ( ph -> F e. *Ring )
4	2, 3	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` W ) e. *Ring )
5		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( y ( .i ` W ) x ) = ( w ( .i ` W ) x ) )
6	5	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( y e. ( Base ` W ) |-> ( y ( .i ` W ) x ) ) = ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) x ) )
7		isphld.cl	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x I y ) e. K )
8	7	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( x I y ) e. K ) )
9		isphld.v	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. ( Base ` W ) ) )
11	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. V <-> y e. ( Base ` W ) ) )
12	10, 11	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. V /\ y e. V ) <-> ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) )
13		isphld.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I = ( .i ` W ) )
14	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x I y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
15		isphld.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K = ( Base ` F ) )
16	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
18	14, 17	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x I y ) e. K <-> ( x ( .i ` W ) y ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
19	8, 12, 18	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( .i ` W ) y ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
20	19	impl 650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( .i ` W ) y ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21	20	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( .i ` W ) y ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( w ( .i ` W ) y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
23	22	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) = ( x e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) )
24	21, 23	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
25	24	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` W ) ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( w ( .i ` W ) y ) = ( w ( .i ` W ) z ) )
27	26	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) = ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) )
28	27	feq1d 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) <-> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
29	28	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. ( Base ` W ) ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) y ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
30	25, 29	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
31		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
32		isphld.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ q e. K /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) )
33	32	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( q e. K -> ( ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) ) ) )
34	17	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( q e. K <-> q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
35		3anrot 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. V /\ x e. V /\ y e. V ) <-> ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) )
36	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( z e. V <-> z e. ( Base ` W ) ) )
37	36, 10, 11	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( z e. V /\ x e. V /\ y e. V ) <-> ( z e. ( Base ` W ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) )
38	35, 37	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) <-> ( z e. ( Base ` W ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) )
39		isphld.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )
40		isphld.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )
41	40	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( q .x. x ) = ( q ( .s ` W ) x ) )
42		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> y = y )
43	39, 41, 42	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( q .x. x ) .+ y ) = ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) )
44		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> z = z )
45	13, 43, 44	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) )
46		isphld.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> .+^ = ( +g ` F ) )
47	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( +g ` F ) = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
48	46, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> .+^ = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
49		isphld.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> .X. = ( .r ` F ) )
50	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( .r ` F ) = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
51	49, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> .X. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> q = q )
53	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( x I z ) = ( x ( .i ` W ) z ) )
54	51, 52, 53	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( q .X. ( x I z ) ) = ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) )
55	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( y I z ) = ( y ( .i ` W ) z ) )
56	48, 54, 55	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) )
57	45, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) <-> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) ) )
58	38, 57	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( q .x. x ) .+ y ) I z ) = ( ( q .X. ( x I z ) ) .+^ ( y I z ) ) ) <-> ( ( z e. ( Base ` W ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) ) ) )
59	33, 34, 58	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) -> ( ( z e. ( Base ` W ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) ) ) )
60	59	imp31 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) )
61	60	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( z e. ( Base ` W ) -> ( x e. ( Base ` W ) -> ( y e. ( Base ` W ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) ) ) ) )
62	61	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) -> ( x e. ( Base ` W ) -> ( y e. ( Base ` W ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) ) ) ) )
63	62	3imp2 1282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) )
64		lveclmod 19106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. LMod )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> W e. LMod )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> W e. LMod )
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
70	68, 69	lss1 18939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> ( Base ` W ) e. ( LSubSp ` W ) )
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( Base ` W ) e. ( LSubSp ` W ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
76	72, 73, 74, 75, 69	lsscl 18943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Base ` W ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
77	71, 76	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) -> ( w ( .i ` W ) z ) = ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) = ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) )
80		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w ( .i ` W ) z ) e. _V
81	78, 79, 80	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) e. ( Base ` W ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) )
82	77, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ( .i ` W ) z ) )
83		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> x e. ( Base ` W ) )
84		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( w ( .i ` W ) z ) = ( x ( .i ` W ) z ) )
85	84, 79, 80	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( Base ` W ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) = ( x ( .i ` W ) z ) )
86	83, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) = ( x ( .i ` W ) z ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) = ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) )
88		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( w ( .i ` W ) z ) = ( y ( .i ` W ) z ) )
90	89, 79, 80	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( Base ` W ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) = ( y ( .i ` W ) z ) )
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) = ( y ( .i ` W ) z ) )
92	87, 91	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( x ( .i ` W ) z ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( y ( .i ` W ) z ) ) )
93	63, 82, 92	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) /\ ( q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) ) )
94	93	ralrimivvva 2972	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) ) )
95	72	lmodring 18871	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Ring )
96		rlmlmod 19205	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Scalar ` W ) e. Ring -> (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) e. LMod )
97	65, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) e. LMod )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) e. LMod )
99		rlmbas 19195	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) )
100		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` W ) e. _V
101		rlmsca 19200	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Scalar ` W ) e. _V -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
102	100, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) )
103		rlmplusg 19196	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) )
104		rlmvsca 19202	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .s ` (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) )
105	68, 99, 72, 102, 73, 74, 103, 75, 104	islmhm2 19038	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) e. LMod ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) <-> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) ) ) ) )
106	66, 98, 105	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) <-> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` ( ( q ( .s ` W ) x ) ( +g ` W ) y ) ) = ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` x ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) ` y ) ) ) ) )
107	30, 31, 94, 106	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
108	107	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ( Base ` W ) ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
109		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( w ( .i ` W ) z ) = ( w ( .i ` W ) x ) )
110	109	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) = ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) x ) ) )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) <-> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) ) )
112	111	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. ( Base ` W ) ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) z ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
113	108, 112	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( w e. ( Base ` W ) |-> ( w ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
114	6, 113	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( y e. ( Base ` W ) |-> ( y ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) )
115		isphld.ns	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( x I x ) = O ) -> x = .0. )
116	115	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V -> ( ( x I x ) = O -> x = .0. ) ) )
117	13	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x I x ) = ( x ( .i ` W ) x ) )
118		isphld.o	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> O = ( 0g ` F ) )
119	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` F ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
120	118, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
121	117, 120	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x I x ) = O <-> ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
122		isphld.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
123	122	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x = .0. <-> x = ( 0g ` W ) ) )
124	121, 123	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( x I x ) = O -> x = .0. ) <-> ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) ) )
125	116, 10, 124	3imtr3d 282	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` W ) -> ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) ) )
126	125	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) )
127		isphld.cj	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( .* ` ( x I y ) ) = ( y I x ) )
128	127	3expib 1268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( .* ` ( x I y ) ) = ( y I x ) ) )
129		isphld.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .* = ( *r ` F ) )
130	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( *r ` F ) = ( *r ` (Scalar ` W ) ) )
131	129, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .* = ( *r ` (Scalar ` W ) ) )
132	131, 14	fveq12d 6197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .* ` ( x I y ) ) = ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) )
133	13	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y I x ) = ( y ( .i ` W ) x ) )
134	132, 133	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( .* ` ( x I y ) ) = ( y I x ) <-> ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) )
135	128, 12, 134	3imtr3d 282	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) )
136	135	expdimp 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( y e. ( Base ` W ) -> ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) )
137	136	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> A. y e. ( Base ` W ) ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) )
138	114, 126, 137	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( ( y e. ( Base ` W ) |-> ( y ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. ( Base ` W ) ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) )
139	138	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` W ) ( ( y e. ( Base ` W ) |-> ( y ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. ( Base ` W ) ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) )
140		eqid 2622	. . 3 |- ( .i ` W ) = ( .i ` W )
141		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
142		eqid 2622	. . 3 |- ( *r ` (Scalar ` W ) ) = ( *r ` (Scalar ` W ) )
143		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
144	68, 72, 140, 141, 142, 143	isphl 19973	. 2 |- ( W e. PreHil <-> ( W e. LVec /\ (Scalar ` W ) e. *Ring /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( y e. ( Base ` W ) |-> ( y ( .i ` W ) x ) ) e. ( W LMHom (ringLMod ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( ( x ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. ( Base ` W ) ( ( *r ` (Scalar ` W ) ) ` ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( y ( .i ` W ) x ) ) ) )
145	1, 4, 139, 144	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> W e. PreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   *rcstv 15943  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   *Ringcsr 18844   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019   LVecclvec 19102  ringLModcrglmod 19169   PreHilcphl 19969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971

This theorem is referenced by:  frlmphl  20120  hlhilphllem  37251