Theorem prdsbas 16117

Description: Base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas	|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, I   x, P   x, R   x, S

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbas

Dummy variables a c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
5		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
6		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
9		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
10		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
11		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
12		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
13		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
14		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
15		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	prdsval 16115	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17		prdsbas.b	. 2 |- B = ( Base ` P )
18		baseid 15919	. 2 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
19	18	strfvss 15880	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
20		fvssunirn 6217	. . . . . . . 8 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
21		rnss 5354	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
22		uniss 4458	. . . . . . . 8 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . 7 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
24	19, 23	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
25	24	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
26		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R <-> A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R )
27	25, 26	mpbir 221	. . . 4 |- U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
28		rnexg 7098	. . . . . 6 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
29		uniexg 6955	. . . . . 6 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
30	15, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
31		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
32		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
34		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R /\ U. ran U. ran R e. _V ) -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
35	27, 33, 34	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
36		ixpssmap2g 7937	. . 3 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) )
37		ovex 6678	. . . 4 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) e. _V
38	37	ssex 4802	. . 3 |- ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
39	35, 36, 38	3syl 18	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
40		snsstp1 4347	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
41		ssun1 3776	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
42	40, 41	sstri 3612	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
43		ssun1 3776	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
44	42, 43	sstri 3612	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
45	16, 17, 18, 39, 44	prdsvallem 16114	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   supcsup 8346   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946  TopSetcts 15947   lecple 15948   distcds 15950   Hom chom 15952  compcco 15953   TopOpenctopn 16082   Xt_cpt 16099   gsum_g cgsu 16101   X__scprds 16106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108

This theorem is referenced by:  prdsplusg  16118  prdsmulr  16119  prdsvsca  16120  prdsip  16121  prdsle  16122  prdsds  16124  prdstset  16126  prdshom  16127  prdsco  16128  prdsbas2  16129  pwsbas  16147  dsmmval  20078  frlmip  20117  prdstps  21432  rrxip  23178  prdstotbnd  33593