Theorem xpstopnlem2 21614

Description: Lemma for xpstopn 21615. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstps.t	|- T = ( R X.s S )
xpstopn.j	|- J = ( TopOpen ` R )
xpstopn.k	|- K = ( TopOpen ` S )
xpstopn.o	|- O = ( TopOpen ` T )
xpstopnlem.x	|- X = ( Base ` R )
xpstopnlem.y	|- Y = ( Base ` S )
xpstopnlem.f	|- F = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem2	|- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> O = ( J tX K ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, R, y   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   T( x, y)   F( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) )
2		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
3		2on 7568	. . . . . 6 |- 2o e. On
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> 2o e. On )
5		xpscfn 16219	. . . . 5 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
7	1, 2, 4, 5, 6	prdstopn 21431	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
8		topnfn 16086	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
9		dffn2 6047	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o <-> `' ( { R } +c { S } ) : 2o --> _V )
10	5, 9	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' ( { R } +c { S } ) : 2o --> _V )
11		fnfco 6069	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ `' ( { R } +c { S } ) : 2o --> _V ) -> ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) Fn 2o )
12	8, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) Fn 2o )
13		xpsfeq 16224	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) Fn 2o -> `' ( { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) } +c { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) } ) = ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' ( { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) } +c { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) } ) = ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) )
15		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
16	15	prid1 4297	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. { (/) , 1o }
17		df2o3 7573	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o = { (/) , 1o }
18	16, 17	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. 2o
19		fvco2 6273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o /\ (/) e. 2o ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) = ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) )
20	5, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) = ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) )
21		xpsc0 16220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TopSp -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) = R )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) = R )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) = ( TopOpen ` R ) )
24		xpstopn.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( TopOpen ` R )
25	23, 24	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) = J )
26	20, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) = J )
27	26	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) } = { J } )
28		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
29	28	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
30	29	prid2 4298	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. { (/) , 1o }
31	30, 17	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
32		fvco2 6273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) = ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) )
33	5, 31, 32	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) = ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) )
34		xpsc1 16221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. TopSp -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) = S )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) = S )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) = ( TopOpen ` S ) )
37		xpstopn.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` S )
38	36, 37	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) = K )
39	33, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) = K )
40	39	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) } = { K } )
41	27, 40	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) } +c { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) } ) = ( { J } +c { K } ) )
42	41	cnveqd 5298	. . . . . 6 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' ( { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` (/) ) } +c { ( ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ` 1o ) } ) = `' ( { J } +c { K } ) )
43	14, 42	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) = `' ( { J } +c { K } ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) )
45	7, 44	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) )
46	45	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) qTop `' F ) = ( ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) qTop `' F ) )
47		xpstps.t	. . . 4 |- T = ( R X.s S )
48		xpstopnlem.x	. . . 4 |- X = ( Base ` R )
49		xpstopnlem.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` S )
50		simpl 473	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> R e. TopSp )
51		simpr 477	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> S e. TopSp )
52		xpstopnlem.f	. . . 4 |- F = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
53		eqid 2622	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
54	47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 1	xpsval 16232	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> T = ( `' F "s ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
55	47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 1	xpslem 16233	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ran F = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
56	52	xpsff1o2 16231	. . . . 5 |- F : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran F
57		f1ocnv 6149	. . . . 5 |- ( F : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran F -> `' F : ran F -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
58	56, 57	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' F : ran F -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
59		f1ofo 6144	. . . 4 |- ( `' F : ran F -1-1-onto-> ( X X. Y ) -> `' F : ran F -onto-> ( X X. Y ) )
60	58, 59	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> `' F : ran F -onto-> ( X X. Y ) )
61		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) e. _V )
62		xpstopn.o	. . 3 |- O = ( TopOpen ` T )
63	54, 55, 60, 61, 6, 62	imastopn 21523	. 2 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> O = ( ( TopOpen ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) qTop `' F ) )
64	48, 24	istps 20738	. . . . 5 |- ( R e. TopSp <-> J e. (TopOn ` X ) )
65	50, 64	sylib 208	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> J e. (TopOn ` X ) )
66	49, 37	istps 20738	. . . . 5 |- ( S e. TopSp <-> K e. (TopOn ` Y ) )
67	51, 66	sylib 208	. . . 4 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
68	52, 65, 67	xpstopnlem1 21612	. . 3 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> F e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
69		hmeocnv 21565	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) -> `' F e. ( ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) Homeo ( J tX K ) ) )
70		hmeoqtop 21578	. . 3 |- ( `' F e. ( ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) Homeo ( J tX K ) ) -> ( J tX K ) = ( ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) qTop `' F ) )
71	68, 69, 70	3syl 18	. 2 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> ( J tX K ) = ( ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) qTop `' F ) )
72	46, 63, 71	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( R e. TopSp /\ S e. TopSp ) -> O = ( J tX K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +c ccda 8989   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   TopOpenctopn 16082   Xt_cpt 16099   X__scprds 16106   qTop cqtop 16163   X._s cxps 16166  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by:  xpstopn  21615