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Theorem pthdivtx 26625

Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
pthdivtx	Paths $/\$ ..^ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pthdivtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispth 26619	. . 3 Paths Trails $/\$ ..^ $/\$ ..^
2		trliswlk 26594	. . . . 5 Trails Walks
3		eqid 2622	. . . . . 6 Vtx Vtx
4	3	wlkp 26512	. . . . 5 Walks Vtx
5		elfz0lmr 12583	. . . . . . . . 9 $\/$ ..^ $\/$
6		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ $/\$
7		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
9	6, 8	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^
11		fvinim0ffz 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Vtx $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
12	10, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^ $/\$ ..^
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Vtx $/\$ $/\$ ..^
16		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Vtx
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Vtx $/\$ ..^
18		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Vtx
19		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ ..^
20		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
21	19, 20	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
22	21	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
23		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
24	22, 23	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Vtx ..^
26	25	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Vtx $/\$ ..^
27	17, 26	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Vtx $/\$ ..^ $/\$
28	27	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Vtx $/\$ $/\$ ..^ $/\$
29		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
30		funfvima 6492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ ..^ ..^
31	28, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
33	31, 32	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
34	15, 33	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
35		nnel 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
36	34, 35	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
37	36	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
38	37	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
39	12, 38	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
40	39	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Vtx $/\$ ..^ ..^
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 Vtx ..^ $/\$ ..^
42	41	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 Vtx ..^ ..^ $/\$ ..^
43	42	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
45	44	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
46	45	ex 450	. . . . . . . . . 10 ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
47		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ ..^ ..^
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
50	49	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
51		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
52	51	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
54	50, 53	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^
55		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Vtx $/\$ ..^ ..^..^Vtx
56	21, 55	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Vtx ..^..^Vtx
57		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^..^Vtx ..^..^Vtx $/\$ ..^
58	57	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^..^Vtx $/\$ ..^ ..^..^Vtx
59	56, 58	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ ..^ ..^..^Vtx
60	59	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^..^Vtx
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
62	61	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
63		f1veqaeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^..^Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^
64	60, 62, 63	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^
65	54, 64	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ $/\$ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
67	66	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $/\$ ..^ $/\$ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
69	68	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
70	69	ex 450	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
71	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^
72	71, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^ $/\$ ..^
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
75	74	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Vtx $/\$ $/\$ ..^
76	27	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Vtx $/\$ $/\$ ..^ $/\$
77		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
78	76, 77, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
79		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
80	78, 79	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
81	75, 80	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
82		nnel 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
83	81, 82	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	84	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
86	72, 85	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
87	86	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Vtx $/\$ ..^ ..^
88	87	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 Vtx ..^ $/\$ ..^
89	88	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 Vtx ..^ ..^ $/\$ ..^
90	89	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^
91	90	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
93	92	ex 450	. . . . . . . . . 10 ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
94	46, 70, 93	3jaoi 1391	. . . . . . . . 9 $\/$ ..^ $\/$ ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
95	5, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ..^ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
96	95	3imp21 1277	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
97	96	com12 32	. . . . . 6 Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$ $/\$
98	97	3exp 1264	. . . . 5 Vtx ..^ ..^ ..^ $/\$ $/\$
99	2, 4, 98	3syl 18	. . . 4 Trails ..^ ..^ ..^ $/\$ $/\$
100	99	3imp 1256	. . 3 Trails $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$ $/\$
101	1, 100	sylbi 207	. 2 Paths ..^ $/\$ $/\$
102	101	imp 445	1 Paths $/\$ ..^ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wnel 2897

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpr 4179 class class class wbr 4653

ccnv 5113

cdm 5114

cres 5116

cima 5117

wfun 5882

wf 5884

wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

c1 9937

clt 10074

cn 11020

cn0 11292

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Vtxcvtx 25874 Walkscwlks 26492 Trailsctrls 26587 Pathscpths 26608

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-wlks 26495 df-trls 26589 df-pths 26612

This theorem is referenced by: pthdadjvtx 26626 upgr4cycl4dv4e 27045

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