Theorem upgr4cycl4dv4e 27045

Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr4cycl4dv4e.v	|- V = (Vtx ` G )
upgr4cycl4dv4e.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
upgr4cycl4dv4e	|- ( ( G e. UPGraph /\ F (Cycles ` G ) P /\ ( # ` F ) = 4 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, c, d   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d

Allowed substitution hints:   F( a, b, c, d)   G( a, b, c, d)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 26688	. . 3 |- ( F (Cycles ` G ) P -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
2		pthiswlk 26623	. . . . 5 |- ( F (Paths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
3		upgr4cycl4dv4e.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
4	3	upgrwlkvtxedg 26541	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UPGraph /\ F (Walks ` G ) P ) -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E )
5		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( P ` ( # ` F ) ) = ( P ` 4 ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) )
7	6	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) <-> ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) ) )
8		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) )
9		fzo0to42pr 12555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) )
11	10	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E ) )
12		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> ( A. k e. { 0 , 1 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E /\ A. k e. { 2 , 3 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E ) )
13		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
14		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. _V
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( P ` k ) = ( P ` 0 ) )
16		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 0 -> ( k + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
17		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
18	16, 17	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 0 -> ( k + 1 ) = 1 )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
20	15, 19	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 1 -> ( P ` k ) = ( P ` 1 ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 1 -> ( k + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
24		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 + 1 ) = 2
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 1 -> ( k + 1 ) = 2 )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 1 -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` 2 ) )
27	22, 26	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 1 -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) )
29	13, 14, 21, 28	ralpr 4238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. { 0 , 1 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) )
30		2ex 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. _V
31		3ex 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. _V
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 2 -> ( P ` k ) = ( P ` 2 ) )
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 2 -> ( k + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
34		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 + 1 ) = 3
35	33, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 2 -> ( k + 1 ) = 3 )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 2 -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` 3 ) )
37	32, 36	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 2 -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 2 -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 3 -> ( P ` k ) = ( P ` 3 ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 3 -> ( k + 1 ) = ( 3 + 1 ) )
41		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 + 1 ) = 4
42	40, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 3 -> ( k + 1 ) = 4 )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 3 -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` 4 ) )
44	39, 43	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 3 -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 3 -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) )
46	30, 31, 38, 45	ralpr 4238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. { 2 , 3 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) )
47	29, 46	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. { 0 , 1 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E /\ A. k e. { 2 , 3 } { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) )
48	12, 47	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) )
49	11, 48	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) ) )
50	7, 49	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E ) <-> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) ) ) )
51		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` 4 ) = ( P ` 0 ) -> { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } = { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 4 ) = ( P ` 0 ) -> ( { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E <-> { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) )
53	52	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) -> ( { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E <-> { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) )
54	53	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) -> ( ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) <-> ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) )
55	54	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
57		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. NN0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) -> 4 e. NN0 )
59		upgr4cycl4dv4e.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- V = (Vtx ` G )
60	59	wlkp 26512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F (Walks ` G ) P -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 4 ) )
62	61	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
63	62	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( # ` F ) = 4 -> P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
64	2, 60, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F (Paths ` G ) P -> ( ( # ` F ) = 4 -> P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
65	64	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) -> P : ( 0 ... 4 ) --> V )
66		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. NN0 )
67		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. NN0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> 0 e. NN0 )
69		4pos 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 < 4
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> 0 < 4 )
71	66, 68, 70	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 e. NN0 /\ 0 e. NN0 /\ 0 < 4 ) )
72		fvffz0 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 4 e. NN0 /\ 0 e. NN0 /\ 0 < 4 ) /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
73	71, 72	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
74	73	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
75		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. NN0
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> 1 e. NN0 )
77		1lt4 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 < 4
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> 1 < 4 )
79	66, 76, 78	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ 1 < 4 ) )
80		fvffz0 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 4 e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ 1 < 4 ) /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
81	79, 80	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
83		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. NN0
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 e. NN0 -> 2 e. NN0 )
85		2lt4 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 < 4
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 e. NN0 -> 2 < 4 )
87	66, 84, 86	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 < 4 ) )
88		fvffz0 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 4 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 < 4 ) /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
89	87, 88	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
90	89	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
91		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 3 e. NN0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 e. NN0 -> 3 e. NN0 )
93		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 3 < 4
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 e. NN0 -> 3 < 4 )
95	66, 92, 94	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 < 4 ) )
96		fvffz0 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 4 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 < 4 ) /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
97	95, 96	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
98	97	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( P ` 3 ) e. V )
99		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) )
100		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) -> F (Paths ` G ) P )
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 1 < ( # ` F ) <-> 1 < 4 ) )
102	77, 101	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 1 < ( # ` F ) )
103	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) -> 1 < ( # ` F ) )
104		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) -> ( # ` F ) = 4 )
105	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) )
106		4nn 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 4 e. NN
107		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 0 e. ( 0..^ 4 ) <-> 4 e. NN )
108	106, 107	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 e. ( 0..^ 4 )
109		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ 4 ) ) )
110	108, 109	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
112		pthdadjvtx 26626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
113	111, 112	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
114		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 1 = ( 0 + 1 )
115	114	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P ` 1 ) = ( P ` ( 0 + 1 ) )
116	115	neeq2i 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
117	113, 116	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
118		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> F (Paths ` G ) P )
119		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 2 e. ( 0..^ 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN /\ 2 < 4 ) )
120	83, 106, 85, 119	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 2 e. ( 0..^ 4 )
121		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 2 =/= 0
122		fzo1fzo0n0 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 2 e. ( 1..^ 4 ) <-> ( 2 e. ( 0..^ 4 ) /\ 2 =/= 0 ) )
123	120, 121, 122	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 2 e. ( 1..^ 4 )
124		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 4 ) )
125	123, 124	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 2 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
126		0elfz 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 4 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 4 ) )
127	57, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 0 e. ( 0 ... 4 )
128	127, 61	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
129	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 2 =/= 0 )
130	125, 128, 129	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 2 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 2 =/= 0 ) )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> ( 2 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 2 =/= 0 ) )
132	131	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( 2 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 2 =/= 0 ) )
133		pthdivtx 26625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( 2 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
134	118, 132, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
135	134	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
136		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 3 e. ( 0..^ 4 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN /\ 3 < 4 ) )
137	91, 106, 93, 136	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 e. ( 0..^ 4 )
138		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 =/= 0
139		fzo1fzo0n0 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 3 e. ( 1..^ 4 ) <-> ( 3 e. ( 0..^ 4 ) /\ 3 =/= 0 ) )
140	137, 138, 139	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 3 e. ( 1..^ 4 )
141	140, 124	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 3 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
142	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 3 =/= 0 )
143	141, 128, 142	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 3 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 3 =/= 0 ) )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> ( 3 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 3 =/= 0 ) )
145	144	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( 3 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 3 =/= 0 ) )
146		pthdivtx 26625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( 3 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( P ` 3 ) =/= ( P ` 0 ) )
147	118, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 3 ) =/= ( P ` 0 ) )
148	147	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) )
149	117, 135, 148	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) )
150		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 1 e. ( 0..^ 4 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 4 e. NN /\ 1 < 4 ) )
151	75, 106, 77, 150	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 1 e. ( 0..^ 4 )
152		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> ( 1 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 1 e. ( 0..^ 4 ) ) )
153	151, 152	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> 1 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> 1 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
155		pthdadjvtx 26626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ 1 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` ( 1 + 1 ) ) )
156	154, 155	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` ( 1 + 1 ) ) )
157		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 2 = ( 1 + 1 )
158	157	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P ` 2 ) = ( P ` ( 1 + 1 ) )
159	158	neeq2i 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` ( 1 + 1 ) ) )
160	156, 159	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
161		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 1 =/= 0
162		fzo1fzo0n0 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 1 e. ( 1..^ 4 ) <-> ( 1 e. ( 0..^ 4 ) /\ 1 =/= 0 ) )
163	151, 161, 162	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. ( 1..^ 4 )
164	163, 124	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 1 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
165		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 e. RR
166		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 4 e. RR
167	165, 166, 93	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 3 <_ 4
168		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 3 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 3 <_ 4 ) )
169	91, 57, 167, 168	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 3 e. ( 0 ... 4 )
170	169, 61	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 3 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
171		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 1 e. RR
172		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 1 < 3
173	171, 172	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 =/= 3
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) = 4 -> 1 =/= 3 )
175	164, 170, 174	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( 1 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 3 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 1 =/= 3 ) )
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> ( 1 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 3 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 1 =/= 3 ) )
177	176	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( 1 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 3 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 1 =/= 3 ) )
178		pthdivtx 26625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( 1 e. ( 1..^ ( # ` F ) ) /\ 3 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ 1 =/= 3 ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) )
179	118, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) )
180		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> ( 2 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 2 e. ( 0..^ 4 ) ) )
181	120, 180	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) -> 2 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
182	181	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) -> 2 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
183		pthdadjvtx 26626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ 2 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` ( 2 + 1 ) ) )
184	182, 183	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` ( 2 + 1 ) ) )
185		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 3 = ( 2 + 1 )
186	185	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P ` 3 ) = ( P ` ( 2 + 1 ) )
187	186	neeq2i 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) <-> ( P ` 2 ) =/= ( P ` ( 2 + 1 ) ) )
188	184, 187	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) )
189	160, 179, 188	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) )
190	149, 189	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ 1 < ( # ` F ) /\ ( ( # ` F ) = 4 /\ ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 4 ) ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) )
191	100, 103, 104, 105, 190	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) )
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) )
193		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = ( P ` 2 ) -> { ( P ` 1 ) , c } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
194	193	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( { ( P ` 1 ) , c } e. E <-> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) )
195	194	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) <-> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) ) )
196		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c = ( P ` 2 ) -> { c , d } = { ( P ` 2 ) , d } )
197	196	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( { c , d } e. E <-> { ( P ` 2 ) , d } e. E ) )
198	197	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) <-> ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) )
199	195, 198	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
200		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= c <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
201	200	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) <-> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) ) )
202		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( P ` 1 ) =/= c <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
203		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( c =/= d <-> ( P ` 2 ) =/= d ) )
204	202, 203	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) <-> ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) ) )
205	201, 204	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) ) ) )
206	199, 205	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c = ( P ` 2 ) -> ( ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) <-> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) ) ) ) )
207		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( d = ( P ` 3 ) -> { ( P ` 2 ) , d } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } )
208	207	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( { ( P ` 2 ) , d } e. E <-> { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E ) )
209		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( d = ( P ` 3 ) -> { d , ( P ` 0 ) } = { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } )
210	209	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( { d , ( P ` 0 ) } e. E <-> { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) )
211	208, 210	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) <-> ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) )
212	211	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
213		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= d <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) )
214	213	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) <-> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) )
215		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( P ` 1 ) =/= d <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) ) )
216		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( P ` 2 ) =/= d <-> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) )
217	215, 216	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) <-> ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) )
218	214, 217	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) ) )
219	212, 218	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d = ( P ` 3 ) -> ( ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ ( P ` 2 ) =/= d ) ) ) <-> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) ) ) )
220	206, 219	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P ` 2 ) e. V /\ ( P ` 3 ) e. V /\ ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 3 ) ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 3 ) /\ ( P ` 2 ) =/= ( P ` 3 ) ) ) ) ) -> E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) )
221	90, 98, 99, 192, 220	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) )
222	74, 82, 221	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
223	222	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) -> ( ( 4 e. NN0 /\ P : ( 0 ... 4 ) --> V ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) )
224	58, 65, 223	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 0 ) } e. E ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
226	56, 225	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( # ` F ) = 4 /\ F (Paths ` G ) P ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
227	226	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( F (Paths ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) ) )
228	227	imp4c 617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
229		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( P ` 0 ) -> { a , b } = { ( P ` 0 ) , b } )
230	229	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( { a , b } e. E <-> { ( P ` 0 ) , b } e. E ) )
231	230	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) <-> ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) ) )
232		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( P ` 0 ) -> { d , a } = { d , ( P ` 0 ) } )
233	232	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( { d , a } e. E <-> { d , ( P ` 0 ) } e. E ) )
234	233	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) <-> ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) )
235	231, 234	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
236		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( a =/= b <-> ( P ` 0 ) =/= b ) )
237		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( a =/= c <-> ( P ` 0 ) =/= c ) )
238		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( a =/= d <-> ( P ` 0 ) =/= d ) )
239	236, 237, 238	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) <-> ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) ) )
240	239	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) )
241	235, 240	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) <-> ( ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
242	241	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( P ` 0 ) -> ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) <-> E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
243		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = ( P ` 1 ) -> { ( P ` 0 ) , b } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
244	243	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( { ( P ` 0 ) , b } e. E <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E ) )
245		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = ( P ` 1 ) -> { b , c } = { ( P ` 1 ) , c } )
246	245	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( { b , c } e. E <-> { ( P ` 1 ) , c } e. E ) )
247	244, 246	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) <-> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) ) )
248	247	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) <-> ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) ) )
249		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= b <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
250	249	3anbi1d 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) <-> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) ) )
251		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( b =/= c <-> ( P ` 1 ) =/= c ) )
252		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( b =/= d <-> ( P ` 1 ) =/= d ) )
253	251, 252	3anbi12d 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) <-> ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) )
254	250, 253	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) )
255	248, 254	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( ( ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) <-> ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
256	255	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( P ` 1 ) -> ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= b /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) <-> E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
257	242, 256	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` 1 ) e. V /\ E. c e. V E. d e. V ( ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , ( P ` 0 ) } e. E ) ) /\ ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= c /\ ( P ` 0 ) =/= d ) /\ ( ( P ` 1 ) =/= c /\ ( P ` 1 ) =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) )
258	228, 257	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` 4 ) ) /\ ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } e. E /\ { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } e. E ) /\ ( { ( P ` 2 ) , ( P ` 3 ) } e. E /\ { ( P ` 3 ) , ( P ` 4 ) } e. E ) ) ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
259	50, 258	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) )
260	259	expd 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` F ) = 4 -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
261	260	com13 88	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } e. E -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
262	4, 261	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UPGraph /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
263	262	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( G e. UPGraph -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) )
264	263	com23 86	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( G e. UPGraph -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) )
265	264	expd 452	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F (Paths ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( G e. UPGraph -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) ) )
266	2, 265	mpcom 38	. . . 4 |- ( F (Paths ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( G e. UPGraph -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) ) )
267	266	imp 445	. . 3 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( G e. UPGraph -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
268	1, 267	syl 17	. 2 |- ( F (Cycles ` G ) P -> ( G e. UPGraph -> ( ( # ` F ) = 4 -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) ) ) )
269	268	3imp21 1277	1 |- ( ( G e. UPGraph /\ F (Cycles ` G ) P /\ ( # ` F ) = 4 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E ) /\ ( { c , d } e. E /\ { d , a } e. E ) ) /\ ( ( a =/= b /\ a =/= c /\ a =/= d ) /\ ( b =/= c /\ b =/= d /\ c =/= d ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   {cpr 4179   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UPGraph cupgr 25975  Walkscwlks 26492  Pathscpths 26608  Cyclesccycls 26680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-pths 26612  df-cycls 26682

This theorem is referenced by:  n4cyclfrgr  27155