Theorem pwfseqlem3 9482

Description: Lemma for pwfseq 9486. Using the construction D from pwfseqlem1 9480, produce a function F that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfseqlem4.g	|- ( ph -> G : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
pwfseqlem4.x	|- ( ph -> X C_ A )
pwfseqlem4.h	|- ( ph -> H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps	|- ( ps <-> ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) /\ om ~<_ x ) )
pwfseqlem4.k	|- ( ( ph /\ ps ) -> K : U_ n e. om ( x ^m n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d	|- D = ( G ` { w e. x | ( ( `' K ` w ) e. ran G /\ -. w e. ( `' G ` ( `' K ` w ) ) ) } )
pwfseqlem4.f	|- F = ( x e. _V , r e. _V |-> if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfseqlem3	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( x F r ) e. ( A \ x ) )

Distinct variable groups:   n, r, w, x, z   D, n, z   w, G   w, K   H, r, x, z   ph, n, r, x, z   ps, n, z   A, n, r, x, z

Allowed substitution hints:   ph( w)   ps( x, w, r)   A( w)   D( x, w, r)   F( x, z, w, n, r)   G( x, z, n, r)   H( w, n)   K( x, z, n, r)   X( x, z, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 3203	. . . 4 |- r e. _V
3		fvex 6201	. . . . 5 |- ( H ` ( card ` x ) ) e. _V
4		fvex 6201	. . . . 5 |- ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. _V
5	3, 4	ifex 4156	. . . 4 |- if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) e. _V
6		pwfseqlem4.f	. . . . 5 |- F = ( x e. _V , r e. _V |-> if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) )
7	6	ovmpt4g 6783	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ r e. _V /\ if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) e. _V ) -> ( x F r ) = if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) )
8	1, 2, 5, 7	mp3an 1424	. . 3 |- ( x F r ) = if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) )
9		pwfseqlem4.ps	. . . . . . . 8 |- ( ps <-> ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) /\ om ~<_ x ) )
10	9	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( ps -> om ~<_ x )
11	10	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> om ~<_ x )
12		domnsym 8086	. . . . . 6 |- ( om ~<_ x -> -. x ~< om )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. x ~< om )
14		isfinite 8549	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> x ~< om )
15	13, 14	sylnibr 319	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. x e. Fin )
16	15	iffalsed 4097	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) = ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) )
17	8, 16	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( x F r ) = ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) )
18		pwfseqlem4.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
19		pwfseqlem4.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ A )
20		pwfseqlem4.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : om -1-1-onto-> X )
21		pwfseqlem4.k	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> K : U_ n e. om ( x ^m n ) -1-1-> x )
22		pwfseqlem4.d	. . . . . . 7 |- D = ( G ` { w e. x | ( ( `' K ` w ) e. ran G /\ -. w e. ( `' G ` ( `' K ` w ) ) ) } )
23	18, 19, 20, 9, 21, 22	pwfseqlem1 9480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. ( U_ n e. om ( A ^m n ) \ U_ n e. om ( x ^m n ) ) )
24		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( D e. ( U_ n e. om ( A ^m n ) \ U_ n e. om ( x ^m n ) ) <-> ( D e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ -. D e. U_ n e. om ( x ^m n ) ) )
25	23, 24	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( D e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ -. D e. U_ n e. om ( x ^m n ) ) )
26	25	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. U_ n e. om ( A ^m n ) )
27		eliun 4524	. . . 4 |- ( D e. U_ n e. om ( A ^m n ) <-> E. n e. om D e. ( A ^m n ) )
28	26, 27	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. n e. om D e. ( A ^m n ) )
29		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( D e. ( A ^m n ) -> D : n --> A )
30	29	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> D : n --> A )
31		ssiun2 4563	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( x ^m n ) C_ U_ n e. om ( x ^m n ) )
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( x ^m n ) C_ U_ n e. om ( x ^m n ) )
33	25	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. D e. U_ n e. om ( x ^m n ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. D e. U_ n e. om ( x ^m n ) )
35	32, 34	ssneldd 3606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. D e. ( x ^m n ) )
36		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- n e. _V
37	1, 36	elmap 7886	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( x ^m n ) <-> D : n --> x )
38		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( D : n --> A -> D Fn n )
39		ffnfv 6388	. . . . . . . . . 10 |- ( D : n --> x <-> ( D Fn n /\ A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
40	39	baib 944	. . . . . . . . 9 |- ( D Fn n -> ( D : n --> x <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
41	30, 38, 40	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D : n --> x <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
42	37, 41	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D e. ( x ^m n ) <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
43	35, 42	mtbid 314	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. A. z e. n ( D ` z ) e. x )
44		nnon 7071	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> n e. On )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. On )
46		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } C_ om
47		omsson 7069	. . . . . . . . . 10 |- om C_ On
48	46, 47	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } C_ On
49		ordom 7074	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord om
50		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. om )
51		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
52	49, 50, 51	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n C_ om )
53		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. n -. ( D ` z ) e. x <-> -. A. z e. n ( D ` z ) e. x )
54	43, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> E. z e. n -. ( D ` z ) e. x )
55		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n C_ om -> ( E. z e. n -. ( D ` z ) e. x -> E. z e. om -. ( D ` z ) e. x ) )
56	52, 54, 55	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> E. z e. om -. ( D ` z ) e. x )
57		rabn0 3958	. . . . . . . . . . 11 |- ( { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) <-> E. z e. om -. ( D ` z ) e. x )
58	56, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) )
59		onint 6995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } C_ On /\ { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) ) -> |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } )
60	48, 58, 59	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } )
61	48, 60	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. On )
62		ontri1 5757	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. On /\ |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. On ) -> ( n C_ |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } <-> -. |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. n ) )
63	45, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( n C_ |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } <-> -. |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. n ) )
64		ssintrab 4500	. . . . . . . 8 |- ( n C_ |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } <-> A. z e. om ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) )
65		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. om -> z e. On )
66		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. On /\ z e. On ) -> ( n C_ z <-> -. z e. n ) )
67	44, 65, 66	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. om /\ z e. om ) -> ( n C_ z <-> -. z e. n ) )
68	67	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ z e. om ) -> ( ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) <-> ( -. ( D ` z ) e. x -> -. z e. n ) ) )
69		con34b 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) <-> ( -. ( D ` z ) e. x -> -. z e. n ) )
70	68, 69	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. om /\ z e. om ) -> ( ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) <-> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) )
71	70	pm5.74da 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( ( z e. om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) <-> ( z e. om -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) )
72		bi2.04 376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) <-> ( z e. n -> ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) ) )
73	71, 72	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( z e. om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) <-> ( z e. n -> ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) ) ) )
74		elnn 7075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. n /\ n e. om ) -> z e. om )
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> ( ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. n /\ n e. om ) -> ( ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) )
77	76	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( z e. n -> ( ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) ) )
78	77	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( z e. n -> ( z e. om -> ( D ` z ) e. x ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) )
79	73, 78	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( ( z e. om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) )
80	79	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( ( z e. om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) )
81	80	ralimdv2 2961	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( A. z e. om ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
82	64, 81	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( n C_ |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
83	63, 82	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( -. |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. n -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) )
84	43, 83	mt3d 140	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. n )
85	30, 84	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. A )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( D ` y ) = ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) )
87	86	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( ( D ` y ) e. x <-> ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) )
88	87	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( y = |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( -. ( D ` y ) e. x <-> -. ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( D ` z ) = ( D ` y ) )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( D ` z ) e. x <-> ( D ` y ) e. x ) )
91	90	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( -. ( D ` z ) e. x <-> -. ( D ` y ) e. x ) )
92	91	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } = { y e. om | -. ( D ` y ) e. x }
93	88, 92	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } <-> ( |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. om /\ -. ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) )
94	93	simprbi 480	. . . . 5 |- ( |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } -> -. ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x )
95	60, 94	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x )
96	85, 95	eldifd 3585	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. ( A \ x ) )
97	28, 96	rexlimddv 3035	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( D ` |^| { z e. om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. ( A \ x ) )
98	17, 97	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( x F r ) e. ( A \ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  9483  pwfseqlem4  9484