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Theorem qirropth 37473
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> ( ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) <-> ( B = D /\ C = E ) ) )
Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 3733 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( CC \ QQ ) -> -. A e. QQ )
213ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> -. A e. QQ )
32adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> -. A e. QQ )
4 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> A e. ( CC \ QQ ) )
54eldifad 3586 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> A e. CC )
6 simp2r 1088 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> C e. QQ )
76ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> C e. QQ )
8 qcn 11802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> C e. CC )
10 simp3r 1090 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> E e. QQ )
1110ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> E e. QQ )
12 qcn 11802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. QQ -> E e. CC )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> E e. CC )
145, 9, 13subdid 10486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( A x. ( C - E ) ) = ( ( A x. C ) - ( A x. E ) ) )
15 qsubcl 11807 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. QQ /\ E e. QQ ) -> ( C - E ) e. QQ )
167, 11, 15syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( C - E ) e. QQ )
17 qcn 11802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C - E ) e. QQ -> ( C - E ) e. CC )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( C - E ) e. CC )
1918, 5mulcomd 10061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( C - E ) x. A ) = ( A x. ( C - E ) ) )
20 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) )
21 simp2l 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> B e. QQ )
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> B e. QQ )
23 qcn 11802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> B e. CC )
255, 9mulcld 10060 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( A x. C ) e. CC )
26 simp3l 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> D e. QQ )
2726ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> D e. QQ )
28 qcn 11802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> D e. CC )
305, 13mulcld 10060 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( A x. E ) e. CC )
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 10443 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) <-> ( D - B ) = ( ( A x. C ) - ( A x. E ) ) ) )
3220, 31mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( D - B ) = ( ( A x. C ) - ( A x. E ) ) )
3314, 19, 323eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( C - E ) x. A ) = ( D - B ) )
34 qsubcl 11807 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( D - B ) e. QQ )
3527, 22, 34syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( D - B ) e. QQ )
36 qcn 11802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D - B ) e. QQ -> ( D - B ) e. CC )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( D - B ) e. CC )
38 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> -. C = E )
39 subeq0 10307 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ E e. CC ) -> ( ( C - E ) = 0 <-> C = E ) )
4039necon3abid 2830 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ E e. CC ) -> ( ( C - E ) =/= 0 <-> -. C = E ) )
419, 13, 40syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( C - E ) =/= 0 <-> -. C = E ) )
4238, 41mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( C - E ) =/= 0 )
4337, 18, 5, 42divmuld 10823 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( ( D - B ) / ( C - E ) ) = A <-> ( ( C - E ) x. A ) = ( D - B ) ) )
4433, 43mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( D - B ) / ( C - E ) ) = A )
45 qdivcl 11809 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( D - B ) e. QQ /\ ( C - E ) e. QQ /\ ( C - E ) =/= 0 ) -> ( ( D - B ) / ( C - E ) ) e. QQ )
4635, 16, 42, 45syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> ( ( D - B ) / ( C - E ) ) e. QQ )
4744, 46eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ -. C = E ) -> A e. QQ )
4847ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> ( -. C = E -> A e. QQ ) )
493, 48mt3d 140 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> C = E )
50 simpl2l 1114 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> B e. QQ )
5150, 23syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> B e. CC )
5251adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> B e. CC )
53 simpl3l 1116 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> D e. QQ )
5453, 28syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> D e. CC )
5554adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> D e. CC )
56 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> A e. ( CC \ QQ ) )
5756eldifad 3586 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> A e. CC )
58 simpl3r 1117 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> E e. QQ )
5958, 12syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> E e. CC )
6057, 59mulcld 10060 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> ( A x. E ) e. CC )
6160adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> ( A x. E ) e. CC )
62 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> C = E )
6362eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> E = C )
6463oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> ( A x. E ) = ( A x. C ) )
6564oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> ( B + ( A x. E ) ) = ( B + ( A x. C ) ) )
66 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) )
6765, 66eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> ( B + ( A x. E ) ) = ( D + ( A x. E ) ) )
6852, 55, 61, 67addcan2ad 10242 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) /\ C = E ) -> B = D )
6968ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> ( C = E -> B = D ) )
7049, 69jcai 559 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> ( C = E /\ B = D ) )
7170ancomd 467 . . 3 |- ( ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) /\ ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) ) -> ( B = D /\ C = E ) )
7271ex 450 . 2 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> ( ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) -> ( B = D /\ C = E ) ) )
73 id 22 . . 3 |- ( B = D -> B = D )
74 oveq2 6658 . . 3 |- ( C = E -> ( A x. C ) = ( A x. E ) )
7573, 74oveqan12d 6669 . 2 |- ( ( B = D /\ C = E ) -> ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) )
7672, 75impbid1 215 1 |- ( ( A e. ( CC \ QQ ) /\ ( B e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( D e. QQ /\ E e. QQ ) ) -> ( ( B + ( A x. C ) ) = ( D + ( A x. E ) ) <-> ( B = D /\ C = E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   QQcq 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-q 11789
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  37476  rmxycomplete  37482  rmxyneg  37485  rmxyadd  37486  rmxy1  37487  rmxy0  37488  jm2.22  37562
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