Theorem subdid 10486

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 10463	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  muls1d  10491  recextlem1  10657  cru  11012  cju  11016  zneo  11460  qbtwnre  12030  lincmb01cmp  12315  iccf1o  12316  intfracq  12658  modlt  12679  moddi  12738  modsubdir  12739  subsq  12972  expmulnbnd  12996  crre  13854  remullem  13868  mulcn2  14326  iseraltlem3  14414  fsumparts  14538  geoserg  14598  mertens  14618  bpolydiflem  14785  bpoly4  14790  fsumcube  14791  tanval3  14864  tanadd  14897  eirrlem  14932  3dvdsOLD  15053  bezoutlem3  15258  cncongr1  15381  eulerthlem2  15487  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  4sqlem10  15651  mul4sqlem  15657  4sqlem17  15665  blcvx  22601  icopnfhmeo  22742  pcoass  22824  pjthlem1  23208  itgmulc2lem2  23599  dvmulbr  23702  cmvth  23754  dvcvx  23783  dvfsumle  23784  dvfsumabs  23786  dvfsumlem2  23790  aaliou3lem8  24100  abelthlem2  24186  tangtx  24257  tanregt0  24285  efif1olem2  24289  efif1olem4  24291  ang180lem5  24543  isosctrlem2  24549  isosctrlem3  24550  affineequiv  24553  heron  24565  dcubic1  24572  dquart  24580  quartlem1  24584  asinsin  24619  efiatan  24639  atanlogsublem  24642  efiatan2  24644  2efiatan  24645  tanatan  24646  atantayl2  24665  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  wilthlem2  24795  ftalem5  24803  basellem3  24809  basellem5  24811  logfaclbnd  24947  bposlem1  25009  lgseisenlem2  25101  lgsquadlem1  25105  2sqlem4  25146  vmadivsum  25171  rplogsumlem1  25173  dchrmusum2  25183  dchrvmasumiflem2  25191  rpvmasum2  25201  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  rplogsum  25216  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  logsqvma  25231  selberglem1  25234  selberglem2  25235  selberg2lem  25239  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrsumo1  25254  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntlemo  25296  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  colinearalglem1  25786  axcontlem8  25851  pjhthlem1  28250  2sqmod  29648  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem16  32518  bj-bary1lem  33160  bj-bary1lem1  33161  itgmulc2nclem2  33477  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirc  33505  cntotbnd  33595  irrapxlem2  37387  irrapxlem3  37388  irrapxlem5  37390  pellexlem6  37398  pell1qrgaplem  37437  qirropth  37473  jm2.17a  37527  congmul  37534  jm2.18  37555  areaquad  37802  itgsinexp  40170  stoweidlem26  40243  stirlinglem7  40297  fourierdlem83  40406  etransclem46  40497  smfmullem1  40998  fmtnorec3  41460  fmtnorec4  41461