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Theorem rmxyadd 37486
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 37492 and rmyadd 37496 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) /\ ( A Yrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2 zaddcl 11417 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
323adant1 1079 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4 rmxyval 37480 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( M + N ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( M + N ) ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ ( M + N ) ) )
51, 3, 4syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( M + N ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( M + N ) ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ ( M + N ) ) )
6 eluzelz 11697 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
763ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
87zcnd 11483 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
9 zq 11794 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
10 qsqcl 12935 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
12 zssq 11795 . . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ QQ
13 1z 11407 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
1412, 13sselii 3600 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. QQ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. QQ )
16 qsubcl 11807 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. QQ )
1711, 15, 16syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. QQ )
18 qcn 11802 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
2019sqrtcld 14176 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
218, 20addcld 10059 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. CC )
22 rmbaserp 37484 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. RR+ )
2322rpne0d 11877 . . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) =/= 0 )
24233ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) =/= 0 )
25 simp2 1062 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
26 simp3 1063 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
27 expaddz 12904 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. CC /\ ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) =/= 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ ( M + N ) ) = ( ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) x. ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) ) )
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ ( M + N ) ) = ( ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) x. ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) ) )
29 frmx 37478 . . . . . . . . 9 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0 )
3130, 1, 25fovrnd 6806 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm M ) e. NN0 )
3231nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm M ) e. CC )
33 frmy 37479 . . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ )
3534, 1, 25fovrnd 6806 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
3635zcnd 11483 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
3720, 36mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) e. CC )
3830, 1, 26fovrnd 6806 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
3938nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
4034, 1, 26fovrnd 6806 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
4140zcnd 11483 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
4220, 41mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
4332, 37, 39, 42muladdd 10489 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) x. ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) + ( ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
44 rmxyval 37480 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) )
451, 25, 44syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) )
46 rmxyval 37480 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) )
471, 26, 46syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) )
4845, 47oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) x. ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) x. ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2658 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) + ( ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) ) = ( ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ M ) x. ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) ) )
5020, 41, 20, 36mul4d 10248 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) )
5119msqsqrtd 14179 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
5241, 36mulcomd 10061 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) )
5351, 52oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
5450, 53eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
5554oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
5632, 20, 41mul12d 10245 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
5739, 20, 36mul12d 10245 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) )
5856, 57oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) )
5932, 41mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
6039, 36mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) e. CC )
6120, 59, 60adddid 10064 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) )
6259, 60addcomd 10238 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
6339, 36mulcomd 10061 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) )
6463oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
6562, 64eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
6665oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
6758, 61, 663eqtr2d 2662 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
6855, 67oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) + ( ( ( A Xrm M ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A Xrm N ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm M ) ) ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
6928, 49, 683eqtr2d 2662 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ ( M + N ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
705, 69eqtrd 2656 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( M + N ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( M + N ) ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
71 rmspecsqrtnq 37470 . . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
72713ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
73 nn0ssq 11796 . . . 4 |- NN0 C_ QQ
7430, 1, 3fovrnd 6806 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( M + N ) ) e. NN0 )
7573, 74sseldi 3601 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( M + N ) ) e. QQ )
7634, 1, 3fovrnd 6806 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( M + N ) ) e. ZZ )
7712, 76sseldi 3601 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( M + N ) ) e. QQ )
7873, 31sseldi 3601 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm M ) e. QQ )
7973, 38sseldi 3601 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. QQ )
80 qmulcl 11806 . . . . 5 |- ( ( ( A Xrm M ) e. QQ /\ ( A Xrm N ) e. QQ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ )
8178, 79, 80syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ )
8212, 35sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. QQ )
8312, 40sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. QQ )
84 qmulcl 11806 . . . . . 6 |- ( ( ( A Yrm M ) e. QQ /\ ( A Yrm N ) e. QQ ) -> ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ )
8582, 83, 84syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ )
86 qmulcl 11806 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. QQ /\ ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ )
8717, 85, 86syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ )
88 qaddcl 11804 . . . 4 |- ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ /\ ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. QQ )
8981, 87, 88syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. QQ )
90 qmulcl 11806 . . . . 5 |- ( ( ( A Yrm M ) e. QQ /\ ( A Xrm N ) e. QQ ) -> ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ )
9182, 79, 90syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ )
92 qmulcl 11806 . . . . 5 |- ( ( ( A Xrm M ) e. QQ /\ ( A Yrm N ) e. QQ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ )
9378, 83, 92syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ )
94 qaddcl 11804 . . . 4 |- ( ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) e. QQ /\ ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ )
9591, 93, 94syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ )
96 qirropth 37473 . . 3 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm ( M + N ) ) e. QQ /\ ( A Yrm ( M + N ) ) e. QQ ) /\ ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. QQ /\ ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm ( M + N ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( M + N ) ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) /\ ( A Yrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1335 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm ( M + N ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( M + N ) ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) /\ ( A Yrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
9870, 97mpbid 222 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Xrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) /\ ( A Yrm ( M + N ) ) = ( ( ( A Yrm M ) x. ( A Xrm N ) ) + ( ( A Xrm M ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   Xrm crmx 37464   Yrm crmy 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467
This theorem is referenced by:  rmxadd  37492  rmyadd  37496
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