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Theorem jm2.22 37562
Description: Lemma for jm2.20nn 37564. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, x   i, N, x   i, J, x
Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 11400 . . . . 5 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
2 jm2.21 37561 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
31, 2syl3an3 1361 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
4 frmx 37478 . . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
54fovcl 6765 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
653adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
76nn0cnd 11353 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
8 eluzelz 11697 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
9 zsqcl 12934 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10 peano2zm 11420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
12113ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
1312zcnd 11483 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
1413sqrtcld 14176 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
15 frmy 37479 . . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6765 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
17163adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
1817zcnd 11483 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
1914, 18mulcld 10060 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
20 simp3 1063 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. NN0 )
21 binom 14562 . . . . 5 |- ( ( ( A Xrm N ) e. CC /\ ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
23 rabnc 3962 . . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/)
2423a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/) )
25 rabxm 3961 . . . . . . 7 |- ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } )
2625a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) )
27 fzfid 12772 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) e. Fin )
28 simpl3 1066 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> J e. NN0 )
29 elfzelz 12342 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. ZZ )
3029adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. ZZ )
31 bccl 13109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. NN0 )
3231nn0zd 11480 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3433zcnd 11483 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
356nn0zd 11480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3736zcnd 11483 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
38 fznn0sub 12373 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( J - i ) e. NN0 )
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J - i ) e. NN0 )
4037, 39expcld 13008 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
4112adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
4241zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
4342sqrtcld 14176 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
4417adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
4544zcnd 11483 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
4643, 45mulcld 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
47 elfznn0 12433 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. NN0 )
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. NN0 )
4946, 48expcld 13008 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. CC )
5040, 49mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. CC )
5134, 50mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 14471 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 12771 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... J ) e. Fin
54 ssrab2 3687 . . . . . . . . . 10 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J )
55 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
5653, 54, 55mp2an 708 . . . . . . . . 9 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
58 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( 2 || x <-> 2 || i ) )
5958notbid 308 . . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> ( -. 2 || x <-> -. 2 || i ) )
6059elrab 3363 . . . . . . . . 9 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) )
6134adantrr 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
6240adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
63 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ i e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6417, 47, 63syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6564zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6665adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6742adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
6829adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. ZZ )
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || i )
70 1zzd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 1 e. ZZ )
71 n2dvds1 15104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. 2 || 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || 1 )
73 omoe 15088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ZZ /\ -. 2 || i ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( i - 1 ) )
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 || ( i - 1 ) )
75 2z 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. ZZ )
77 2ne0 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 =/= 0 )
79 peano2zm 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ZZ -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
82 dvdsval2 14986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( i - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8376, 78, 81, 82syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8474, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8580zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. RR )
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. RR )
87 dvds0 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || 0
89 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = 0 -> ( 2 || i <-> 2 || 0 ) )
9088, 89mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = 0 -> 2 || i )
9190con3i 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. 2 || i -> -. i = 0 )
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. i = 0 )
9347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN0 )
94 elnn0 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 <-> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
9593, 94sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
96 orel2 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. i = 0 -> ( ( i e. NN \/ i = 0 ) -> i e. NN ) )
9792, 95, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN )
98 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN -> ( i - 1 ) e. NN0 )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. NN0 )
10099nn0ge0d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( i - 1 ) )
101 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. RR )
103 2pos 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 < 2 )
105 divge0 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( i - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( i - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
107 elnn0z 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
10884, 106, 107sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
11067, 109expcld 13008 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
11166, 110mulcld 10060 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
11262, 111mulcld 10060 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
11361, 112mulcld 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11460, 113sylan2b 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11557, 14, 114fsummulc2 14516 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
11643adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
117116, 61, 112mul12d 10245 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
118116, 62, 111mul12d 10245 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
11943, 48expcld 13008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
120119adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
12166, 120mulcomd 10061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
122116, 66, 110mul12d 10245 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
123 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
125116, 109, 124expmuld 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
12680zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. CC )
127126ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( i - 1 ) e. CC )
128 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. CC )
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 =/= 0 )
130127, 128, 129divcan2d 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( i - 1 ) )
131130oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
13267sqsqrtd 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
133132oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
134125, 131, 1333eqtr3rd 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
135134oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
136116, 110mulcomd 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
13797adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> i e. NN )
138 expm1t 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC /\ i e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
139116, 137, 138syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
140135, 136, 1393eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) )
141140oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
142122, 141eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
14343, 45, 48mulexpd 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
144143adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
145121, 142, 1443eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) )
146145oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
147118, 146eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
148147oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
149117, 148eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
15060, 149sylan2b 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
151150sumeq2dv 14433 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
152115, 151eqtr2d 2657 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
153152oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
15452, 153eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1553, 22, 1543eqtrd 2660 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
156 rmspecsqrtnq 37470 . . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
1571563ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
158 nn0ssq 11796 . . . . 5 |- NN0 C_ QQ
159 simp1 1061 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
160 simp2 1062 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16113ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. ZZ )
162160, 161zmulcld 11488 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( N x. J ) e. ZZ )
1634fovcl 6765 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
164159, 162, 163syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
165158, 164sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ )
166 zssq 11795 . . . . 5 |- ZZ C_ QQ
16715fovcl 6765 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
168159, 162, 167syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
169166, 168sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ )
170 ssrab2 3687 . . . . . . . 8 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J )
171 ssfi 8180 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17253, 170, 171mp2an 708 . . . . . . 7 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17458elrab 3363 . . . . . . 7 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) )
17533adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
176 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - i ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17736, 39, 176syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
178177adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17943adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
18045adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
18147ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i e. NN0 )
182179, 180, 181mulexpd 13023 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
18329zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. CC )
184183adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. CC )
185 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 e. CC )
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 =/= 0 )
187184, 185, 186divcan2d 10803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( 2 x. ( i / 2 ) ) = i )
188187eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
189188adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
190189oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) )
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 e. ZZ )
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 =/= 0 )
193 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. ZZ )
194 dvdsval2 14986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ i e. ZZ ) -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
195191, 192, 193, 194syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
196195biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. ZZ )
197 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
198197adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> i e. RR )
199 nn0ge0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 0 <_ i )
200199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ i )
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 2 e. RR )
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 < 2 )
203 divge0 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
205 elnn0z 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i / 2 ) e. NN0 <-> ( ( i / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( i / 2 ) ) )
206196, 204, 205sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
20747, 206sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
208207adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
210179, 208, 209expmuld 13011 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) )
21142adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
212211sqsqrtd 14178 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
213212oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
214190, 210, 2133eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
215214oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
216182, 215eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
217 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( i / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21812, 207, 217syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21964adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
220218, 219zmulcld 11488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) e. ZZ )
221216, 220eqeltrd 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. ZZ )
222178, 221zmulcld 11488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. ZZ )
223175, 222zmulcld 11488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
224174, 223sylan2b 492 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
225173, 224fsumzcl 14466 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
226166, 225sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ )
22733adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
228177adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
22964adantrr 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
230 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
23112, 108, 230syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
232229, 231zmulcld 11488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
233228, 232zmulcld 11488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. ZZ )
234227, 233zmulcld 11488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23560, 234sylan2b 492 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23657, 235fsumzcl 14466 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
237166, 236sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ )
238 qirropth 37473 . . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ ) /\ ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ /\ sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1335 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
240155, 239mpbid 222 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
241240simprd 479 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   ...cfz 12326   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Xrm crmx 37464   Yrm crmy 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467
This theorem is referenced by:  jm2.23  37563
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