quad3 - Mathbox for Filip Cernatescu

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Theorem quad3 31564

Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quad3.1
quad3.2
quad3.3
quad3.4
quad3.5
quad3.6

**Assertion**
Ref	Expression
quad3	$\/$

**Proof of Theorem quad3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . . 6
2		quad3.2	. . . . . 6
3	1, 2	mulcli 10045	. . . . 5
4		quad3.1	. . . . . 6
5		quad3.4	. . . . . . 7
6		2ne0 11113	. . . . . . . 8
7		quad3.3	. . . . . . . 8
8	1, 2, 6, 7	mulne0i 10670	. . . . . . 7
9	5, 3, 8	divcli 10767	. . . . . 6
10	4, 9	addcli 10044	. . . . 5
11	3, 10	sqmuli 12947	. . . 4
12	4, 9	binom2i 12974	. . . . . . 7
13	4	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . 12
14	2, 13	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
15	5, 4	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15, 2, 7	divdiri 10782	. . . . . . . . . 10
17	13, 2, 7	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . 11
18	5, 4, 2, 7	div23i 10783	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
20	16, 19	eqtr2i 2645	. . . . . . . . 9
21	5, 2, 7	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12
22	21, 4	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . 11
23	4, 21	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12
24	23, 1, 6	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11
25	4, 21, 1, 6	divassi 10781	. . . . . . . . . . . . 13
26	2, 7	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
27	1, 6	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
28		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	5, 26, 27, 28	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	2, 1	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	29, 31	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
34	25, 33	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
36	22, 24, 35	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . 10
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
38		quad3.5	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	14, 15, 38	addassi 10048	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
42	14, 15	addcli 10044	. . . . . . . . . . . . 13
43	42, 38	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . 12
44	41, 43	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . 11
45		quad3.6	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
47		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . 12
48	46, 47	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11
49	44, 48	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
51	20, 37, 50	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8
52	51	oveq1i 6660	. . . . . . 7
53	12, 52	eqtri 2644	. . . . . 6
54	38	negcli 10349	. . . . . . . 8
55	54, 2, 7	divcli 10767	. . . . . . 7
56	9	sqcli 12944	. . . . . . 7
57	55, 56	addcomi 10227	. . . . . 6
58	5, 3, 8	sqdivi 12948	. . . . . . . 8
59		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11
60	59, 2	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10
61		4ne0 11117	. . . . . . . . . . 11
62	59, 2, 61, 7	mulne0i 10670	. . . . . . . . . 10
63	60, 60, 54, 2, 62, 7	divmuldivi 10785	. . . . . . . . 9
64	60, 62	dividi 10758	. . . . . . . . . . . 12
65	64	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11
66	65	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
67	55	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10
68	66, 67	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9
69	38	mulm1i 10475	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	69	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
72		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . 14
73	60, 72, 38	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . 13
74	71, 73	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12
75	60, 72	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
77	72, 60, 38	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . 12
78	74, 76, 77	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
79	59, 2, 38	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . 12
80	79	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
81	2, 38	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13
82	59, 81	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12
83	82	mulm1i 10475	. . . . . . . . . . 11
84	78, 80, 83	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10
85		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86	85	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
88	87	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
89	1, 1, 2	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
91	88, 90	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
92	1, 3	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . 13
93	92	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
94	3, 1, 2	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . 12
95	91, 93, 94	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
96	3	sqvali 12943	. . . . . . . . . . 11
97	95, 96	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10
98	84, 97	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
99	63, 68, 98	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8
100	58, 99	oveq12i 6662	. . . . . . 7
101	5	sqcli 12944	. . . . . . . 8
102	82	negcli 10349	. . . . . . . 8
103	3	sqcli 12944	. . . . . . . 8
104	3, 3, 8, 8	mulne0i 10670	. . . . . . . . 9
105	96, 104	eqnetri 2864	. . . . . . . 8
106	101, 102, 103, 105	divdiri 10782	. . . . . . 7
107	101, 82	negsubi 10359	. . . . . . . 8
108	107	oveq1i 6660	. . . . . . 7
109	100, 106, 108	3eqtr2i 2650	. . . . . 6
110	53, 57, 109	3eqtri 2648	. . . . 5
111	110	oveq2i 6661	. . . 4
112	101, 82	subcli 10357	. . . . 5
113	112, 103, 105	divcan2i 10768	. . . 4
114	11, 111, 113	3eqtri 2648	. . 3
115	3, 10	mulcli 10045	. . . . 5
116	115, 112	pm3.2i 471	. . . 4 $/\$
117		eqsqrtor 14106	. . . 4 $/\$ $\/$
118	116, 117	ax-mp 5	. . 3 $\/$
119	114, 118	mpbi 220	. 2 $\/$
120		sqrtcl 14101	. . . . . . 7
121	112, 120	ax-mp 5	. . . . . 6
122	121, 3, 10, 8	divmuli 10779	. . . . 5
123		eqcom 2629	. . . . 5
124	122, 123	bitr3i 266	. . . 4
125	121, 3, 8	divcli 10767	. . . . . 6
126	125, 9, 4	subadd2i 10369	. . . . 5
127		eqcom 2629	. . . . 5
128	126, 127	bitr3i 266	. . . 4
129		divneg 10719	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130	5, 3, 8, 129	mp3an 1424	. . . . . . . 8
131	130	oveq2i 6661	. . . . . . 7
132	125, 9	negsubi 10359	. . . . . . 7
133	5	negcli 10349	. . . . . . . . 9
134	133, 3, 8	divcli 10767	. . . . . . . 8
135	125, 134	addcomi 10227	. . . . . . 7
136	131, 132, 135	3eqtr3i 2652	. . . . . 6
137	133, 121, 3, 8	divdiri 10782	. . . . . 6
138	136, 137	eqtr4i 2647	. . . . 5
139	138	eqeq2i 2634	. . . 4
140	124, 128, 139	3bitri 286	. . 3
141	121	negcli 10349	. . . . . 6
142	141, 3, 10, 8	divmuli 10779	. . . . 5
143		eqcom 2629	. . . . 5
144	142, 143	bitr3i 266	. . . 4
145	141, 3, 8	divcli 10767	. . . . . 6
146	145, 9, 4	subadd2i 10369	. . . . 5
147		eqcom 2629	. . . . 5
148	146, 147	bitr3i 266	. . . 4
149	130	oveq2i 6661	. . . . . . 7
150	145, 9	negsubi 10359	. . . . . . 7
151	145, 134	addcomi 10227	. . . . . . 7
152	149, 150, 151	3eqtr3i 2652	. . . . . 6
153	133, 141, 3, 8	divdiri 10782	. . . . . 6
154	133, 121	negsubi 10359	. . . . . . 7
155	154	oveq1i 6660	. . . . . 6
156	152, 153, 155	3eqtr2i 2650	. . . . 5
157	156	eqeq2i 2634	. . . 4
158	144, 148, 157	3bitri 286	. . 3
159	140, 158	orbi12i 543	. 2 $\/$ $\/$
160	119, 159	mpbi 220	1 $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

c4 11072

cexp 12860

csqrt 13973

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: (None)

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