Theorem reclem4pr 9872

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
2	1	reclem2pr 9870	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> B e. P. )
3		df-mp 9806	. . . . . . 7 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
4		mulclnq 9769	. . . . . . 7 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
5	3, 4	genpelv 9822	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
6	2, 5	mpdan 702	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
7	1	abeq2i 2735	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
8		ltrelnq 9748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 5168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x <Q y -> ( x e. Q. /\ y e. Q. ) )
10	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x <Q y -> y e. Q. )
11		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. )
12		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. Q. -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
14	13	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
16		recclnq 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
17		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
18	16, 17	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
19		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) )
20		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y .Q z ) = ( z .Q y )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
22		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
23	21, 22	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
24	19, 23	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
26	18, 25	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
27	15, 26	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) ) )
28		ltsonq 9791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
29	28, 8	sotri 5523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q )
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
31	30	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( y e. Q. -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
32	10, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
33	32	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) )
34	33	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
35	34	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
36	7, 35	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
37		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( z .Q x ) -> ( w <Q 1Q <-> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
38	37	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( ( z .Q x ) <Q 1Q -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
40	39	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( ( z e. A /\ x e. B ) -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
41	40	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
42	6, 41	sylbid 230	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w <Q 1Q ) )
43		df-1p 9804	. . . . 5 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
44	43	abeq2i 2735	. . . 4 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
45	42, 44	syl6ibr 242	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w e. 1P ) )
46	45	ssrdv 3609	. 2 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) C_ 1P )
47	1	reclem3pr 9871	. 2 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )
48	46, 47	eqssd 3620	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   1Pc1p 9682   .P. cmp 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-mp 9806

This theorem is referenced by:  recexpr  9873