Theorem reclem3pr 9871

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	|- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 9804	. . . 4 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
2	1	abeq2i 2735	. . 3 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
3		ltrnq 9801	. . . . . . 7 |- ( w <Q 1Q <-> ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) )
4		mulcomnq 9775	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
5		1nq 9750	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
6		recclnq 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
7		mulidnq 9785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
9		recidnq 9787	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q
12	11	breq1i 4660	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
13	3, 12	bitri 264	. . . . . 6 |- ( w <Q 1Q <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
14		prlem936 9869	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
15	13, 14	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
16		prnmax 9817	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> E. z e. A v <Q z )
17	16	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> E. z e. A v <Q z )
18		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> v e. Q. )
19	18	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> v e. Q. )
20	19	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v e. Q. )
21		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w <Q 1Q )
22		ltrelnq 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
23	22	brel 5168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w <Q 1Q -> ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) )
24	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w <Q 1Q -> w e. Q. )
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w e. Q. )
26		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v <Q z )
27		simp2r 1088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
28		ltrnq 9801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v <Q z <-> ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) )
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` z ) e. _V
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` v ) e. _V
31		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. Q. -> ( x <Q y <-> ( u .Q x ) <Q ( u .Q y ) ) )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
33		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x .Q y ) = ( y .Q x )
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Q. -> ( ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
35	28, 34	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
37	36	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
38		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v )
39		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = 1Q )
40	38, 39	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( ( *Q ` v ) .Q v ) = 1Q )
41		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
42	40, 41	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
43		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
44		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x .Q y ) .Q u ) = ( x .Q ( y .Q u ) )
45		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( *Q ` w ) e. _V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
47		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
50		recclnq 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( *Q ` v ) e. Q. )
51		mulclnq 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( *Q ` v ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
52	50, 51	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
53		recmulnq 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
55	49, 54	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
57	56	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
58	57	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A -> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
59	37, 58	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
60		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. _V
61		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
64	63	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
65	61, 64	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
66	60, 65	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
67		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. _V
68		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( x <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y ) )
69	68	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
70	69	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
72	67, 70, 71	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
73	66, 72	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
74	59, 73	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
77	22	brel 5168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v <Q z -> ( v e. Q. /\ z e. Q. ) )
78	77	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v <Q z -> z e. Q. )
79	78	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> z e. Q. )
80		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w )
81		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
82	80, 81	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
83		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) )
84		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
86	83, 85	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Q. -> ( 1Q .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
87	82, 86	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
88	79, 25, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
92	76, 88, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
93	92	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( v <Q z -> E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
94	93	reximdv 3016	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
95	71	reclem2pr 9870	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
96		df-mp 9806	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
97		mulclnq 9769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
98	96, 97	genpelv 9822	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
99	95, 98	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
100	99	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
101	94, 100	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> w e. ( A .P. B ) ) )
102	17, 101	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> w e. ( A .P. B ) )
103	15, 102	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> w e. ( A .P. B ) )
104	103	ex 450	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w <Q 1Q -> w e. ( A .P. B ) ) )
105	2, 104	syl5bi 232	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. 1P -> w e. ( A .P. B ) ) )
106	105	ssrdv 3609	1 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   1Pc1p 9682   .P. cmp 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-mp 9806

This theorem is referenced by:  reclem4pr  9872