Theorem relexpsucnnl 13772

Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpsucnnl	|- ( ( R e. V /\ N e. NN ) -> ( R ^r ( N + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) )

Proof of Theorem relexpsucnnl

Dummy variables n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R ^r ( 1 + 1 ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 1 ) )
4	3	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( R o. ( R ^r n ) ) = ( R o. ( R ^r 1 ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) <-> ( R ^r ( 1 + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r 1 ) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( R e. V -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) ) <-> ( R e. V -> ( R ^r ( 1 + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r 1 ) ) ) ) )
7		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( n = m -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( R ^r n ) = ( R ^r m ) )
10	9	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( n = m -> ( R o. ( R ^r n ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) )
11	8, 10	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) <-> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = m -> ( ( R e. V -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) ) <-> ( R e. V -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) ) )
13		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n + 1 ) = ( ( m + 1 ) + 1 ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) )
15		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
16	15	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( R o. ( R ^r n ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) <-> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( R e. V -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) ) <-> ( R e. V -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n + 1 ) = ( N + 1 ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( n = N -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R ^r ( N + 1 ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( R ^r n ) = ( R ^r N ) )
22	21	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( n = N -> ( R o. ( R ^r n ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) <-> ( R ^r ( N + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = N -> ( ( R e. V -> ( R ^r ( n + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r n ) ) ) <-> ( R e. V -> ( R ^r ( N + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) ) ) )
25		relexp1g 13766	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
26	25	coeq1d 5283	. . . 4 |- ( R e. V -> ( ( R ^r 1 ) o. R ) = ( R o. R ) )
27		1nn 11031	. . . . 5 |- 1 e. NN
28		relexpsucnnr 13765	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ 1 e. NN ) -> ( R ^r ( 1 + 1 ) ) = ( ( R ^r 1 ) o. R ) )
29	27, 28	mpan2 707	. . . 4 |- ( R e. V -> ( R ^r ( 1 + 1 ) ) = ( ( R ^r 1 ) o. R ) )
30	25	coeq2d 5284	. . . 4 |- ( R e. V -> ( R o. ( R ^r 1 ) ) = ( R o. R ) )
31	26, 29, 30	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( R e. V -> ( R ^r ( 1 + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r 1 ) ) )
32		coeq1 5279	. . . . . . . . 9 |- ( ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) -> ( ( R ^r ( m + 1 ) ) o. R ) = ( ( R o. ( R ^r m ) ) o. R ) )
33		coass 5654	. . . . . . . . 9 |- ( ( R o. ( R ^r m ) ) o. R ) = ( R o. ( ( R ^r m ) o. R ) )
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) -> ( ( R ^r ( m + 1 ) ) o. R ) = ( R o. ( ( R ^r m ) o. R ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( ( R ^r ( m + 1 ) ) o. R ) = ( R o. ( ( R ^r m ) o. R ) ) )
36		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R e. V /\ m e. NN ) )
37		peano2nn 11032	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
38	37	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( R e. V /\ ( m + 1 ) e. NN ) )
39		relexpsucnnr 13765	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( m + 1 ) ) o. R ) )
40	36, 38, 39	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( m + 1 ) ) o. R ) )
41		relexpsucnnr 13765	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( ( R ^r m ) o. R ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( ( R ^r m ) o. R ) )
43	42	coeq2d 5284	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) = ( R o. ( ( R ^r m ) o. R ) ) )
44	35, 40, 43	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ m e. NN ) /\ ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) )
45	44	ex 450	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) ) )
46	45	expcom 451	. . . 4 |- ( m e. NN -> ( R e. V -> ( ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) ) ) )
47	46	a2d 29	. . 3 |- ( m e. NN -> ( ( R e. V -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r m ) ) ) -> ( R e. V -> ( R ^r ( ( m + 1 ) + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r ( m + 1 ) ) ) ) ) )
48	6, 12, 18, 24, 31, 47	nnind 11038	. 2 |- ( N e. NN -> ( R e. V -> ( R ^r ( N + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) ) )
49	48	impcom 446	1 |- ( ( R e. V /\ N e. NN ) -> ( R ^r ( N + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   o. ccom 5118  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  relexpsucl  13773  relexpcnv  13775  relexpaddnn  13791  trclfvcom  38015  trclimalb2  38018